Le second degré — exercices types corrigés

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=-1$b = -1, $c=-6$c = -6, donc $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-6)=1+24=25$Δ = (-1)² - 4× 1×(-6) = 1 + 24 = 25.

   → Formule de résolution du second degré
2. 2.
   $\Delta =25>0$Δ = 25 > 0 : deux solutions, avec $\sqrt{\Delta }=5$√(Δ) = 5.
3. 3.
   $x_1=\frac{1-5}{2}=-2$x₁ = (1 - 5)/2 = -2 et $x_2=\frac{1+5}{2}=3$x₂ = (1 + 5)/2 = 3.

   → Formule de résolution du second degré

1. 1.
   Abscisse du sommet : $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$α = -b/2a = -(-4)/2 = 2.

   → Forme canonique
2. 2.
   Ordonnée : $\beta =f(2)=2^2-4\times 2+1=4-8+1=-3$β = f(2) = 2² - 4× 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.
3. 3.
   Donc $f(x)=(x-2{)}^2-3$f(x) = (x-2)² - 3. (Vérification en développant : $(x-2{)}^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$(x-2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1.)

1. 1.
   Abscisse : $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times 2}=2$α = -b/2a = -(-8)/(2× 2) = 2.

   → Coordonnées du sommet
2. 2.
   Ordonnée : $\beta =f(2)=2\times 4-8\times 2+5=8-16+5=-3$β = f(2) = 2× 4 - 8× 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3.
3. 3.
   Comme $a=2>0$a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut : le sommet est un minimum.

1. 1.
   On cherche les racines : $\Delta =25>0$Δ = 25 > 0, d'où $x_1=-2$x₁ = -2 et $x_2=3$x₂ = 3.

   → Formule de résolution du second degré
2. 2.
   Ici $a=1>0$a = 1 > 0 : le trinôme est du signe de $a$a (positif) à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

   → Signe du trinôme
3. 3.
   Conclusion : $x^2-x-6>0$x² - x - 6 > 0 sur $]-\infty ;-2[\cup ]3;+\infty [$]-∞ ;-2[∪]3 ;+∞[, $<0$< 0 sur $]-2;3[$]-2 ;3[, nul en $-2$-2 et $3$3.

Méthode utilisée : Le trinôme est du signe de $a$a à l'extérieur des racines.

Erreur fréquente : Inverser l'intérieur et l'extérieur des racines.

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=-5$b = -5, $c=6$c = 6 : $\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1$Δ = (-5)² - 4× 1× 6 = 25 - 24 = 1.

   → Formule de résolution du second degré
2. 2.
   $\Delta =1>0$Δ = 1 > 0, $\sqrt{\Delta }=1$√(Δ) = 1 : $x=\frac{5\pm 1}{2}$x = (5 ± 1)/2, soit $3$3 et $2$2.

1. 1.
   $\Delta =(-6{)}^2-4\times 1\times 9=36-36=0$Δ = (-6)² - 4× 1× 9 = 36 - 36 = 0.

   → Formule de résolution du second degré
2. 2.
   Une racine double : $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$x₀ = (-b)/2a = 6/2 = 3.

1. 1.
   $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3$Δ = 1² - 4× 1× 1 = 1 - 4 = -3.

   → Formule de résolution du second degré
2. 2.
   $\Delta <0$Δ < 0 : aucune solution réelle.

1. 1.
   Racines $-2$-2 et $3$3, $a=1>0$a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines.

   → Signe du trinôme
2. 2.
   On cherche $\le 0$≤ 0, bornes incluses : $S=[-2;3]$S = [-2 ;3].

Erreur fréquente : Mettre des crochets ouverts pour une inégalité large ($\le$≤).

1. 1.
   L'aire est $x(x-2)=15$x(x - 2) = 15, soit $x^2-2x-15=0$x² - 2x - 15 = 0.
2. 2.
   $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times (-15)=4+60=64$Δ = (-2)² - 4× 1×(-15) = 4 + 60 = 64, $\sqrt{\Delta }=8$√(Δ) = 8.

   → Formule de résolution du second degré
3. 3.
   $x=\frac{2\pm 8}{2}$x = (2 ± 8)/2 : $x=5$x = 5 ou $x=-3$x = -3. Une longueur est positive, donc $x=5$x = 5.
4. 4.
   Longueur $5$5 cm, largeur $5-2=3$5 - 2 = 3 cm (vérification : $5\times 3=15$5× 3 = 15 ✓).

1. 1.
   Retour au sol : $h(t)=0$h(t) = 0, soit $-5t^2+10t=0$-5t² + 10t = 0, donc $-5t(t-2)=0$-5t(t - 2) = 0.
2. 2.
   $t=0$t = 0 (départ) ou $t=2$t = 2 : le ballon retombe au bout de $2$2 s.
3. 3.
   Hauteur maximale au sommet : $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\times (-5)}=1$α = -b/2a = -10/(2×(-5)) = 1 s.

   → Coordonnées du sommet
4. 4.
   $h(1)=-5\times 1+10\times 1=5$h(1) = -5× 1 + 10× 1 = 5 m.

Méthode utilisée : Hauteur maximale = sommet ; retombée quand $h(t)=0$h(t)=0.