Coordonnées du sommet : la formule et un exemple

Q: Comment retrouver l'ordonnée du sommet ?

En calculant l'image de l'abscisse : β = f(α). Il n'y a aucune autre formule à mémoriser.

Q: Le sommet est-il un maximum ou un minimum ?

Cela dépend du signe de a : a > 0 donne un minimum, a < 0 un maximum.

Q: À quoi sert l'axe de symétrie ?

À obtenir un second point sans calcul : deux abscisses symétriques par rapport à α ont la même image.

Ce que dit la formule

On calcule $α = - \frac{b}{2 a}$ α = -b/2a, puis $β = f (α)$ β = f(α) en remplaçant. Le sommet est $S (α; β)$ S(α ;β).

L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale $x = α$ x = α.

L'abscisse du sommet se retrouve de deux façons : par la formule $- \frac{b}{2 a}$ -b/2a, ou en résolvant $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0 puisque la tangente y est horizontale. Les deux donnent le même résultat.

Le signe de $a$ a décide de la nature du sommet : positif, la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum ; négatif, c'est un maximum.

Exemple

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5

f(x) = 2x² - 8x + 5 :

α = 2

α = 2,

β = f (2) = - 3

β = f(2) = -3, sommet

S (2; - 3)

S(2 ;-3).

Deuxième exemple

f (x) = - x^{2} + 6 x - 5

f(x) = -x² + 6x - 5 :

α = \frac{- 6}{2 \times ( - 1 )} = 3

α = (-6)/(2×(-1)) = 3, et

β = f (3) = - 9 + 18 - 5 = 4

β = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4. Comme

a = - 1 < 0

a = -1 < 0, le sommet

S (3; 4)

S(3 ;4) est un maximum.

Piège à éviter

L'abscisse est

- \frac{b}{2 a}

-b/2a (avec le signe moins et le

2 a

2a au dénominateur).

Questions fréquentes

Comment retrouver l'ordonnée du sommet ?

En calculant l'image de l'abscisse :

β = f (α)

β = f(α). Il n'y a aucune autre formule à mémoriser.

Le sommet est-il un maximum ou un minimum ?

Cela dépend du signe de

a

a :

a > 0

a > 0 donne un minimum,

a < 0

a < 0 un maximum.

À quoi sert l'axe de symétrie ?

À obtenir un second point sans calcul : deux abscisses symétriques par rapport à

α

α ont la même image.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur second degré en première

Forme canonique, discriminant, racines, signe du trinôme et résolution d'inéquations.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spé Maths Première

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

Le sommet d'une parabole →