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Formule · Première spé maths

Formule : Équation de la tangente

Pente f'(a) et passage par (a ; f(a)).

y = f'(a) (x - a) + f(a)

En écriture simple : y = f'(a) × (x − a) + f(a)

Ce que dit la formule

La tangente au point d'abscisse a a pour pente le nombre dérivé f'(a) et passe par le point (a ;f(a)). Son équation est y = f'(a)(x - a) + f(a).

Deux calculs suffisent : f(a) et f'(a).

La tangente est la droite qui « colle » à la courbe au point considéré : elle a le même point de passage et la même pente instantanée. C'est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

Cette approximation est celle qu'on utilise en physique pour linéariser un phénomène autour d'un point de fonctionnement : sur un petit intervalle, la courbe et sa tangente se confondent presque.

Exemple

f(x) = x² en a = 1 : f(1) = 1, f'(1) = 2, donc y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1.

Deuxième exemple

f(x) = √(x) en a = 4 : f(4) = 2 et f'(x) = 1/2√(x) donne f'(4) = 1/4. La tangente a pour équation y = 1/4(x-4) + 2 = x/4 + 1.

Piège à éviter

La variable de la droite reste x ; a est une valeur fixée.

Questions fréquentes

La tangente peut-elle couper la courbe ailleurs ?
Oui, rien ne l'interdit : elle n'est tangente qu'au point considéré, et peut recouper la courbe plus loin.
À quoi sert concrètement la tangente ?
À approcher la fonction près du point : pour x proche de 4, √(x) ≈ x/4 + 1, ce qui donne √(4,2) ≈ 2,05.
Une courbe a-t-elle une tangente en tout point ?
Seulement là où elle est dérivable. La fonction valeur absolue n'admet pas de tangente en 0, où sa courbe forme un angle.

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