Résolution par le signe : la formule et un exemple

Q: Quand les solutions forment-elles deux intervalles ?

Quand on cherche le signe de a, qui se trouve à l'extérieur des racines : les solutions sont alors de part et d'autre, réunies par le symbole d'union.

Q: Comment savoir si les bornes sont incluses ?

Par le type d'inégalité : large (≤ ou ≥) les racines sont incluses, stricte ( ) elles sont exclues.

Ce que dit la formule

On étudie le signe du trinôme (racines + signe de $a$ a), puis on garde les intervalles correspondant à l'inégalité. Bornes incluses pour $\leq$ ≤ ou $\geq$ ≥, exclues pour $<$ < ou $>$ >.

Exemple type : pour $a > 0$ a > 0, $a x^{2} + b x + c \leq 0$ ax² + bx + c ≤ 0 donne l'intervalle fermé entre les racines.

L'inéquation se résout en deux temps bien distincts : d'abord le signe du trinôme, ensuite seulement la lecture des intervalles correspondant au sens demandé. Mélanger les deux étapes conduit presque toujours à une erreur.

Le sens de l'inégalité et le signe de $a$ a se combinent : il y a quatre situations possibles, mais toutes se lisent sur le même tableau de signes.

Exemple

x^{2} - x - 6 \leq 0

x² - x - 6 ≤ 0 (racines

- 2

-2,

3

a > 0

a > 0) :

S = [- 2; 3]

S = [-2 ;3].

Deuxième exemple

x^{2} - 4 > 0

x² - 4 > 0 : les racines sont

- 2

-2 et

2

2, et

a = 1 > 0

a = 1 > 0, donc le trinôme est positif à l'extérieur. Les solutions sont

] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [

]-∞ ;-2[ ∪ ]2 ;+∞[.

Piège à éviter

Inclure ou non les bornes selon l'inégalité : large (

\leq

≤) → bornes incluses ; stricte (

<

<) → exclues.

Questions fréquentes

Quand les solutions forment-elles deux intervalles ?

Quand on cherche le signe de

a

a, qui se trouve à l'extérieur des racines : les solutions sont alors de part et d'autre, réunies par le symbole d'union.

Comment savoir si les bornes sont incluses ?

Par le type d'inégalité : large (

\leq

≤ ou

\geq

≥) les racines sont incluses, stricte (

<

< ou

>

>) elles sont exclues.

Une inéquation du second degré peut-elle n'avoir aucune solution ?

Oui : si

Δ < 0

Δ < 0 et

a > 0

a > 0, le trinôme est toujours strictement positif, et l'inéquation

a x^{2} + b x + c < 0

ax² + bx + c < 0 n'a aucune solution.

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