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Formule · Première spé maths

Formule : Min/max sur un intervalle

On compare les extremums et les bornes.

extremums ( f'=0 ) et valeurs aux bornes

Ce que dit la formule

Sur un intervalle, on dresse le tableau de variations (signe de f'), on repère les extremums, et on compare avec les valeurs aux bornes si l'intervalle est fermé.

Le minimum (resp. maximum) est la plus petite (resp. grande) de toutes ces valeurs.

Un extremum local se repère là où f' s'annule en changeant de signe : de + à - c'est un maximum, de - à + c'est un minimum. Le changement de signe est indispensable, f' peut s'annuler sans extremum.

Sur un intervalle fermé [a ;b], le minimum et le maximum globaux se trouvent parmi les extremums locaux et les deux valeurs aux bornes f(a) et f(b) : il faut comparer toutes ces valeurs.

Exemple

f(x) = x² - 4x + 1 sur ℝ : minimum -3 en x = 2, pas de maximum (tend vers +∞).

Deuxième exemple

f(x) = x³ - 3x sur [0 ;3] : f'(x) = 3x² - 3 s'annule en 1, avec f(1) = -2. Aux bornes, f(0) = 0 et f(3) = 18. Le minimum vaut donc -2 en x = 1, et le maximum 18 en x = 3.

Piège à éviter

Sur un intervalle fermé, ne pas oublier de comparer aux valeurs aux bornes.

Questions fréquentes

Une dérivée qui s'annule garantit-elle un extremum ?
Non, il faut un changement de signe de f'. Pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais la fonction reste croissante : il n'y a pas d'extremum.
Faut-il toujours regarder les bornes ?
Sur un intervalle fermé, oui : le maximum peut être atteint en une borne sans que f' s'y annule, comme f(3) = 18 dans l'exemple ci-dessus.
Quelle différence entre extremum local et extremum global ?
Un extremum local est le plus grand (ou le plus petit) sur un voisinage du point ; un extremum global l'est sur tout l'intervalle étudié.

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