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Formule · Première spé maths

Formule : Signe de f' et conclusion

On résout f'(x) = 0, on étudie le signe.

f' > 0 ⇒ f ↗ f' < 0 ⇒ f ↘

Ce que dit la formule

On résout f'(x) = 0 pour trouver les valeurs où le signe peut changer, puis on détermine le signe de f' sur chaque intervalle (souvent un trinôme ou une expression simple).

On en déduit directement les variations de f.

Étudier le signe de f' est presque toujours l'étape la plus longue d'une étude de fonction : c'est là que se joue tout le tableau de variations.

Les valeurs qui annulent f' découpent l'intervalle en zones de signe constant. Entre deux zéros consécutifs le signe ne change pas, ce qui permet de le déterminer en testant un seul point.

Exemple

f'(x) = 2x - 4 : f'(x) > 0 ⇔ x > 2, f'(x) < 0 ⇔ x < 2.

Deuxième exemple

f'(x) = 3x² - 12 s'annule pour x = -2 et x = 2. En testant x = 0, on trouve f'(0) = -12 < 0 : f' est donc négative sur ]-2 ;2[ et positive à l'extérieur.

Piège à éviter

Le signe de f' peut être étudié comme celui d'un trinôme si f' est du second degré.

Questions fréquentes

Comment déterminer le signe entre deux racines ?
En testant une seule valeur de l'intervalle : le signe étant constant entre deux zéros consécutifs, un seul calcul suffit.
Que faire si la dérivée ne s'annule jamais ?
Son signe est constant sur tout l'intervalle : la fonction est monotone. On le vérifie avec une valeur quelconque.
Faut-il résoudre l'équation exactement ?
Oui quand c'est possible : les racines sont les bornes du tableau de variations, et souvent les abscisses des extremums.

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