Comment calculer avec des vecteurs ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Calculer les coordonnées
Pour $A B$ vecteur AB, on fait $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ (x_B - x_A ; y_B - y_A).
2
Appliquer la bonne formule
Norme avec $x^{2} + y^{2}$ √(x² + y²), somme en additionnant les coordonnées, colinéarité avec $x y^{'} - y x^{'}$ xy' - yx'.
3
Interpréter
Déterminant nul → points alignés ou droites parallèles ; norme → longueur ou distance.

Soient $A (1; 2)$ A(1 ;2) et $B (4; 6)$ B(4 ;6). Calculer les coordonnées de $A B$ vecteur AB et la distance $A B$ AB.

1. $A B (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$ vecteur AB (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ;4).
2. $A B = ∥ A B ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ AB = ‖ vecteur AB ‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25).
3. $A B = 5$ AB = 5.

Résultat :

A B (3; 4)

vecteur AB (3 ;4) et

A B = 5

AB = 5.

Soient $A (- 1; 3)$ A(-1 ;3), $B (2; - 1)$ B(2 ;-1) et $C (5; - 5)$ C(5 ;-5). Ces points sont-ils alignés ?

1. $A B (2 - (- 1); - 1 - 3) = (3; - 4)$ vecteur AB (2-(-1) ; -1-3) = (3 ;-4).
2. $A C (5 - (- 1); - 5 - 3) = (6; - 8)$ vecteur AC (5-(-1) ; -5-3) = (6 ;-8).
3.Déterminant : $3 \times (- 8) - (- 4) \times 6 = - 24 + 24 = 0$ 3×(-8) - (-4)× 6 = -24 + 24 = 0.

Résultat : Le déterminant est nul : les trois points sont alignés.

Garder le même ordre des points partout :

A B

vecteur AB part de

A

A, donc «

B

B moins

A

A ».

Quel outil pour quelle question ?

Norme pour une longueur, déterminant pour un alignement ou un parallélisme, produit scalaire pour un angle droit.

Comment éviter les erreurs de signe ?

En écrivant systématiquement la soustraction en entier :

2 - (- 1) = 3

2 - (-1) = 3, plutôt que de calculer de tête.

Faut-il un repère orthonormé ?

Pour les longueurs et le produit scalaire, oui. Le calcul des coordonnées et le déterminant fonctionnent dans n'importe quel repère.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.