Les étapes pour calculer un coefficient binomial

1
Vérifier les cas simples
Si $k = 0$ k = 0, $k = 1$ k = 1, $k = n - 1$ k = n-1 ou $k = n$ k = n, on conclut immédiatement ( $1$ 1, $n$ n, $n$ n, $1$ 1).
2
Réduire avec la symétrie
Si $k > \frac{n}{2}$ k > n/2, on remplace $k$ k par $n - k$ n-k pour simplifier le calcul.
3
Appliquer la formule
On calcule $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) = n!/(k! (n-k)!), en simplifiant la fraction avant de multiplier.

Exemple corrigé : calculer un coefficient binomial

Calculer $(5 7)$ C(7, 5).

Résultat :

(5 7) = 21

C(7, 5) = 21.

Pour

(k n)

C(n, k), on peut écrire

\frac{n \times ( n - 1 ) \times \dots}{k !}

(n×(n-1)×…)/k! avec exactement

k

k facteurs au numérateur : c'est plus rapide que les factorielles complètes.

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Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

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