Le coefficient binomial — exercices types corrigés

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right)=1$C(6, 0) = 1 et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=6$C(6, 1) = 6.

   → Formule du coefficient binomial

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6$C(4, 2) = 4!/(2! 2!) = 24/4 = 6.

   → Formule du coefficient binomial

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2}=36$C(9, 7) = C(9, 2) = (9× 8)/2 = 36.

   → Symétrie

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=15+20=35$C(7, 3) = C(6, 2) + C(6, 3) = 15 + 20 = 35.

   → Relation de Pascal

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$C(10, 3) = (10× 9× 8)/(3× 2× 1) = 120.

   → Formule du coefficient binomial

1. 1.
   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)0,2^{2}0,8^3$P(X=2) = C(5, 2) 0,2² 0,8³.
2. 2.
   $=10\times 0,04\times 0,512=0,2048$= 10 × 0,04 × 0,512 = 0,2048.

   → Formule du coefficient binomial

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\frac{6\times 5}{2\times 1}$C(6, 2) =(6× 5)/(2× 1).

   → Formule du coefficient binomial
2. 2.
   $=15$=15.

Méthode utilisée : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$C(n, k) =n!/(k! (n-k)!).

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $2!$2!.

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=\frac{8\times 7\times 6}{6}=56$C(8, 3) =(8× 7× 6)/6=56.

   → Formule du coefficient binomial
2. 2.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$C(8, 5) = C(8, 3) =56 par symétrie.

   → Symétrie

Méthode utilisée : Symétrie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)$C(n, k) = C(n, n-k).

Erreur fréquente : Recalculer $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)$C(8, 5) avec $5!$5! sans voir la symétrie.

1. 1.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}$C(10, 3) =(10× 9× 8)/(3× 2× 1).

   → Formule du coefficient binomial
2. 2.
   $=\frac{720}{6}=120$=720/6=120.

Méthode utilisée : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) avec $k$k facteurs au numérateur.

Erreur fréquente : Diviser par $3$3 au lieu de $3!$3!.

1. 1.
   $P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)0,5^{3}0,5^3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)0,5^6$P(X=3)= C(6, 3) 0,5³ 0,5³= C(6, 3) 0,5⁶.

   → Formule du coefficient binomial
2. 2.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$C(6, 3) =20, donc $P=20\times \frac{1}{64}=0,3125$P=20×1/64=0,3125.

Méthode utilisée : Le coefficient binomial dans la loi binomiale.

Erreur fréquente : Oublier le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)$C(6, 3).