Les étapes

1
Écrire le taux de variation
On forme $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ (f(a+h) - f(a))/h en remplaçant $x$ x par $a + h$ a+h puis par $a$ a.
2
Développer et simplifier
On développe le numérateur : un facteur $h$ h apparaît, qui se simplifie avec le $h$ h du dénominateur.
3
Faire tendre h vers 0
Dans l'expression simplifiée, on remplace $h$ h par $0$ 0 : on obtient $f^{'} (a)$ f'(a).

Exemple corrigé

Calculer le nombre dérivé de $f (x) = x^{2}$ f(x) = x² en $a = 3$ a = 3 par la définition.

1.Taux : $\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = \frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h}$ (f(3+h) - f(3))/h = ((3+h)² - 9)/h.
2.Numérateur : $(3 + h)^{2} - 9 = 9 + 6 h + h^{2} - 9 = 6 h + h^{2}$ (3+h)² - 9 = 9 + 6h + h² - 9 = 6h + h², donc le taux vaut $\frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h$ (6h + h²)/h = 6 + h.
3.Quand $h \to 0$ h → 0 : $6 + h \to 6$ 6 + h → 6.

Résultat :

f^{'} (3) = 6

f'(3) = 6.

Toujours simplifier le

h

h avant de le remplacer par

0

0 : sans ça, on tombe sur

\frac{0}{0}

0/0.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

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