Les étapes

1
Calculer f'(x)
On dérive la fonction avec les règles habituelles.
2
Étudier le signe de f'(x)
On résout $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0 et on détermine le signe de $f^{'}$ f' sur chaque intervalle.
3
Conclure sur les variations
Là où $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0, $f$ f est croissante ; là où $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0, $f$ f est décroissante. Un changement de signe de $f^{'}$ f' donne un extremum.

Exemple corrigé

Étudier les variations de $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ f(x) = x² - 4x + 1.

1. $f^{'} (x) = 2 x - 4$ f'(x) = 2x - 4.
2. $f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2$ f'(x) = 0 ⇔ x = 2 ; $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 pour $x < 2$ x < 2, $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 pour $x > 2$ x > 2.
3. $f$ f décroît sur $] - \infty; 2]$ ]-∞ ;2] puis croît sur $[2; + \infty [$ [2 ;+∞[ : minimum $f (2) = - 3$ f(2) = -3.

Résultat : Minimum

- 3

-3 atteint en

x = 2

x = 2.

Un extremum n'apparaît que si

f^{'}

f' change de signe :

f^{'} (x) = 0

f'(x) = 0 seul ne suffit pas.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

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