Les étapes

1
Dériver la fonction
On calcule $f^{'} (x)$ f'(x) sur l'ensemble de définition.
2
Étudier le signe de f'
On résout $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0, puis on détermine le signe de $f^{'}$ f' sur chaque intervalle.
3
Remplir le tableau
On reporte les valeurs de $x$ x, la ligne de signe de $f^{'}$ f', puis les flèches : $↗$ ↗ quand $f^{'} > 0$ f' > 0, $↘$ ↘ quand $f^{'} < 0$ f' < 0.
4
Indiquer les extremums
Aux changements de sens, on calcule $f (x_{0})$ f(x₀) et on l'écrit dans le tableau (maximum ou minimum).

Exemple corrigé

Dresser le tableau de variation de $f (x) = x^{3} - 3 x$ f(x) = x³ - 3x.

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1).
2. $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0 pour $x = - 1$ x = -1 et $x = 1$ x = 1 ; $f^{'} > 0$ f' > 0 sur $] - \infty; - 1 [$ ]-∞ ;-1[, $f^{'} < 0$ f' < 0 sur $] - 1; 1 [$ ]-1 ;1[, $f^{'} > 0$ f' > 0 sur $] 1; + \infty [$ ]1 ;+∞[.
3.Donc $f$ f croît, puis décroît, puis croît : maximum local $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ f(-1) = -1 + 3 = 2, minimum local $f (1) = 1 - 3 = - 2$ f(1) = 1 - 3 = -2.

Résultat :

f

f croissante sur

] - \infty; - 1]

]-∞ ;-1], décroissante sur

[- 1; 1]

[-1 ;1], croissante sur

[1; + \infty [

[1 ;+∞[ ; maximum

2

2 en

- 1

-1, minimum

- 2

-2 en

1

Ne pas oublier de calculer les images

f (x_{0})

f(x₀) aux extremums : le tableau doit afficher les valeurs, pas seulement les flèches.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :