Les grands nombres et la divisibilité en CM2

Les grands nombres et la divisibilité en CM2 : cours complet

Des millions et même presque un milliard ! Pas de panique : on range les chiffres par classes de trois et tout devient simple.

Les grands nombres

Je retiens. On regroupe les chiffres par trois, en partant de la droite : la classe des unités simples, celle des mille, celle des millions.

$245083106$245 083 106 se lit « deux-cent-quarante-cinq-millions-quatre-vingt-trois-mille-cent-six ».

Astuce — Lire un grand nombre. Je lis chaque classe comme un petit nombre, puis je dis son nom : « $245$245 millions $083$083 mille $106$106 ». Une classe vide s'écrit avec trois zéros : trois-millions-cinq-cents $=3000500$= 3 000 500.

Je retiens — Chiffre ou nombre ?. $1$1 million $=1000$= 1 000 milliers $=1000000$= 1 000 000 unités. Dans $245083106$245 083 106, le chiffre $4$4 vaut $4$4 dizaines de millions ($40000000$40 000 000), et le nombre de milliers est $245083$245 083.

Astuce — Décomposer. $3050700=(3\times 1000000)+(5\times 10000)+(7\times 100)$3 050 700 = (3 × 1 000 000) + (5 × 10 000) + (7 × 100).

Comparer, ranger, encadrer

Méthode — Comparer deux grands nombres.

1. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
2. S'ils en ont autant, je compare chiffre par chiffre en partant de la gauche.
3. $12450000<12504000$12 450 000 < 12 504 000 car $4<5$4 < 5 au rang des centaines de mille.

De $0$0 à $1000000$1 000 000 en $10$10 intervalles : chaque intervalle vaut $100000$100 000.

Astuce — Encadrer. Au million près : $7000000<7482315<8000000$7 000 000 < 7 482 315 < 8 000 000. À la centaine de mille près : $7400000<7482315<7500000$7 400 000 < 7 482 315 < 7 500 000.

Multiples et diviseurs

Je retiens. $36=4\times 9$36 = 4 × 9 : $36$36 est un multiple de $4$4 et de $9$9 ; $4$4 et $9$9 sont des diviseurs de $36$36. Multiple de $2$2 : chiffre des unités pair. De $5$5 : $0$0 ou $5$5. De $10$10 : $0$0.

Méthode — Trouver tous les diviseurs de $24$24.

1. Je cherche les produits égaux à $24$24 en partant de $1$1 : $1\times 24$1 × 24, $2\times 12$2 × 12, $3\times 8$3 × 8, $4\times 6$4 × 6.
2. $5$5 ne marche pas ; après, je retomberais sur $6$6 : j'arrête.
3. Diviseurs de $24$24 : $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $6$6, $8$8, $12$12, $24$24.

$24$24 carrés rangés en rectangles : chaque rectangle donne deux diviseurs.

Astuce — Diviseurs communs, multiples communs. Diviseurs de $18$18 : $1$1, $2$2, $3$3, $6$6, $9$9, $18$18 ; de $24$24 : $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $6$6, $8$8, $12$12, $24$24. Diviseurs communs : $1$1, $2$2, $3$3, $6$6. Multiples de $4$4 : $4$4, $8$8, $12$12, $16$16, $20$20, $24$24… ; de $6$6 : $6$6, $12$12, $18$18, $24$24… Multiples communs : $12$12, $24$24, $36$36…

Les pièges à éviter

Attention.

• Oublier les zéros d'une classe vide : trois-millions-cinq-cents $=3000500$= 3 000 500.
• Confondre le chiffre des milliers et le nombre de milliers.
• Oublier $1$1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.

Exercices d'application

À toi de jouer.

Exercice 1 – Écrire

Écris en chiffres : douze-millions-trois-cent-mille-quarante ; deux-cent-millions-six.

Exercice 2 – Diviseurs

Donne tous les diviseurs de $30$30.

Exercice 3 – Communs

Donne les diviseurs communs à $12$12 et $20$20, puis deux multiples communs à $6$6 et $9$9.

Défi. Avec $18$18 billes et $24$24 calots, on veut faire des sachets tous identiques, sans rien laisser. Combien de sachets au maximum ? Que contient chaque sachet ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $12300040$12 300 040 ; $200000006$200 000 006.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $1$1, $2$2, $3$3, $5$5, $6$6, $10$10, $15$15, $30$30.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. Diviseurs communs : $1$1, $2$2, $4$4. Multiples communs : $18$18, $36$36 (aussi $54$54…).

Corrigé du défi

Corrigé. Le nombre de sachets doit diviser $18$18 et $24$24 : le plus grand diviseur commun est $6$6. On fait $6$6 sachets de $3$3 billes et $4$4 calots.