Les probabilités en CM2

Les probabilités en CM2 : cours complet

Au CM2, on ne dit plus seulement « probable » : on compte les chances ! « $3$3 chances sur $10$10 », c'est précis comme un détective.

Issues et évènements

Je retiens. Les issues sont tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Un évènement est réalisé par certaines issues. Avec un dé : les issues sont $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $5$5, $6$6. L'évènement « obtenir un nombre pair » est réalisé par $2$2, $4$4 et $6$6.

« $a$a chances sur $b$b »

Méthode — Exprimer une probabilité. Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité) :

1. Je compte toutes les issues : c'est $b$b.
2. Je compte les issues qui réalisent l'évènement : c'est $a$a.
3. L'évènement a « $a$a chances sur $b$b » de se réaliser.

Tirer une boule rouge : $3$3 chances sur $10$10. Tirer une bleue : $7$7 chances sur $10$10.

Astuce — D'autres exemples. Obtenir un nombre pair avec un dé : $3$3 chances sur $6$6. Tirer un cœur dans un jeu de $32$32 cartes : $8$8 chances sur $32$32.

Méthode — Comparer des probabilités.

1. Même nombre total d'issues : je compare le nombre de chances. $5$5 chances sur $10$10 est plus probable que $3$3 chances sur $10$10.
2. Sinon, je raisonne : $3$3 chances sur $6$6 et $5$5 chances sur $10$10, c'est dans les deux cas une chance sur deux.

Le hasard n'a pas de mémoire

Attention — Indépendance. Quand on répète une expérience, chaque essai ne dépend pas des précédents : le dé « ne se souvient pas ». Après trois $6$6 de suite, obtenir $6$6 au lancer suivant a toujours $1$1 chance sur $6$6.

Les expériences en deux étapes

Je retiens — Avec un tableau. On lance une pièce, puis un dé : $2\times 6=12$2 × 6 = 12 issues, toutes équiprobables.

« Obtenir pile et un nombre pair » : P2, P4, P6, soit $3$3 chances sur $12$12.

Deux lancers d'une pièce : l'arbre donne $4$4 issues. « Au moins une fois face » : PF, FP, FF, soit $3$3 chances sur $4$4.

Les pièges à éviter

Attention.

• Compter les couleurs au lieu des boules.
• Oublier des issues : « pile puis face » et « face puis pile » sont deux issues différentes.
• Croire qu'un résultat « doit » sortir parce qu'il n'est pas sorti depuis longtemps.

Exercices d'application

À toi de jouer.

Exercice 1 – La roue

Une roue a $8$8 secteurs égaux numérotés de $1$1 à $8$8. Combien de chances sur $8$8 d'obtenir un nombre plus grand que $5$5 ?

Exercice 2 – Le sac

Un sac contient $4$4 boules vertes, $5$5 jaunes et $1$1 rouge. Combien de chances sur $10$10 de tirer une jaune ? Quelle couleur est la plus probable ?

Exercice 3 – Deux dés

On lance deux dés. Combien y a-t-il d'issues ? Combien de chances d'obtenir deux $6$6 ?

Défi. On lance deux dés et on additionne. Combien de chances sur $36$36 d'obtenir une somme égale à $7$7 ? Et égale à $12$12 ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $6$6, $7$7, $8$8 : $3$3 chances sur $8$8.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $5$5 chances sur $10$10 ; le jaune est la couleur la plus probable.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $6\times 6=36$6 × 6 = 36 issues ; deux $6$6 : $1$1 chance sur $36$36.

Corrigé du défi

Corrigé. Somme $7$7 : $1+6$1+6, $2+5$2+5, $3+4$3+4, $4+3$4+3, $5+2$5+2, $6+1$6+1, soit $6$6 chances sur $36$36. Somme $12$12 : seulement $6+6$6+6, soit $1$1 chance sur $36$36.