Résolution de problèmes en CM2

Résolution de problèmes en CM2 : cours complet

Au CM2, les problèmes ont souvent plusieurs étapes. Mon arme secrète : un schéma, et une question intermédiaire à chaque étape.

Les quatre étapes

Méthode — Résoudre un problème.

1. Comprendre : je reformule l'histoire et je repère ce que je cherche.
2. Modéliser : je fais un schéma (en barres) et j'écris les calculs, parfois en un seul calcul avec des parenthèses.
3. Calculer : de tête ou en posant.
4. Répondre : une phrase, puis je vérifie que le résultat est possible.

Les problèmes en plusieurs étapes

Méthode — Une sortie scolaire. $54$54 élèves partent en sortie. Le car coûte $420$420 € ; l'entrée du musée coûte $4,50$4,50 € par élève. Quel est le coût total ?

1. Le musée : $54\times 4,50=243$54 × 4,50 = 243 €.
2. Le total : $420+243=663$420 + 243 = 663 €.
3. En un seul calcul : $420+(54\times 4,50)=663$420 + (54 × 4,50) = 663 €.

Léa a économisé les $\frac{3}{4}$3/4 du prix d'un vélo à $360$360 € : un quart vaut $90$90 €, il lui manque $90$90 €.

La comparaison multiplicative

Je retiens. « $3$3 fois moins » : je divise par $3$3. « $6$6 fois plus » : je multiplie par $6$6. Un immeuble mesure $45$45 m ; une maison est $3$3 fois moins haute : $45÷3=15$45 ÷ 3 = 15 m. Une tour est $6$6 fois plus haute que la maison : $15\times 6=90$15 × 6 = 90 m.

Dénombrer et optimiser

Un arbre pour ne rien oublier : $2$2 entrées et $2$2 plats donnent $2\times 2=4$2 × 2 = 4 menus.

Astuce — Dénombrer. Un menu propose $3$3 entrées, $4$4 plats et $2$2 desserts : on peut composer $3\times 4\times 2=24$3 × 4 × 2 = 24 menus différents.

Astuce — Optimiser : le moins cher. Stylos à $0,90$0,90 € l'unité ou $8$8 € le lot de $10$10. Pour $25$25 stylos : $2$2 lots et $5$5 stylos : $16+4,50=20,50$16 + 4,50 = 20,50 € ; $3$3 lots : $24$24 € ; $25$25 à l'unité : $22,50$22,50 €. Le moins cher : $2$2 lots et $5$5 stylos.

Vers les algorithmes

Je retiens. On plie une feuille en deux, encore et encore. Combien de plis pour avoir au moins $100$100 épaisseurs ? Je répète « doubler » en comptant : $2$2, $4$4, $8$8, $16$16, $32$32, $64$64, $128$128 : il faut $7$7 plis. C'est un algorithme : une instruction répétée jusqu'à ce qu'une condition soit remplie.

Les pièges à éviter

Attention.

• Choisir l'opération à cause d'un mot de l'énoncé.
• Oublier une étape, ou répondre à une question intermédiaire.
• Ne pas vérifier la vraisemblance (un car à $4$4 € ?).

Exercices d'application

À toi de jouer.

Exercice 1 – Plusieurs étapes

Un libraire reçoit $12$12 cartons de $25$25 livres. Il en vend $186$186. Combien lui en reste-t-il ?

Exercice 2 – Avec une fraction

Sur un trajet de $240$240 km, on a parcouru les $\frac{5}{8}$5/8. Combien de kilomètres reste-t-il ?

Exercice 3 – Dénombrer

Avec les chiffres $1$1, $2$2 et $3$3, utilisés une seule fois chacun, combien de nombres de trois chiffres peut-on écrire ?

Défi. Un escargot monte un mur de $10$10 m. Chaque jour il monte de $3$3 m, chaque nuit il glisse de $2$2 m. En combien de jours atteint-il le haut du mur ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $12\times 25=300$12 × 25 = 300 livres ; $300-186=114$300 - 186 = 114 livres restants.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $240÷8=30$240 ÷ 8 = 30, puis $5\times 30=150$5 × 30 = 150 km parcourus ; il reste $240-150=90$240 - 150 = 90 km.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $123$123, $132$132, $213$213, $231$231, $312$312, $321$321 : $6$6 nombres.

Corrigé du défi

Corrigé. Chaque jour complet (jour $+$+ nuit), il gagne $1$1 m. Au matin du $8^{\text{e}}$8^(\)texte jour, il est à $7$7 m ; dans la journée il monte de $3$3 m et atteint $10$10 m. Il lui faut $8$8 jours (et non $10$10 !).