Ce que dit la formule
Choisir les k éléments que l'on garde équivaut à choisir les n-k que l'on laisse : les deux comptages donnent le même nombre. Cette symétrie simplifie souvent les calculs.
La symétrie traduit une évidence de dénombrement : constituer une équipe de 3 parmi 10, c'est en même temps désigner les 7 qui restent. Les deux façons de décrire la même partie se correspondent une à une.
En pratique, elle divise le temps de calcul : on remplace toujours k par le plus petit des deux nombres k et n-k.
Exemple
C(10, 8) = C(10, 2) = 45 (bien plus rapide à calculer).
Deuxième exemple
C(20, 17) = C(20, 3) = (20× 19× 18)/(3× 2× 1) = 1 140. Le calcul direct avec 17 facteurs serait bien plus long.
Les autres formules de le coefficient binomial
Questions fréquentes
Pourquoi choisir k revient-il à écarter n − k éléments ?
Parce que désigner les éléments retenus détermine exactement ceux qu'on laisse de côté. Les deux descriptions désignent la même partie.
Quelle valeur privilégier pour le calcul ?
La plus petite de k et n-k : le calcul comporte alors moins de facteurs.
Que valent les coefficients aux extrémités ?
C(n, 0) = C(n, n) = 1 : il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir, et une seule de tout choisir.
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