Le dénombrement — exercices types corrigés

1. 1.
   L'ordre ne compte pas : c'est une combinaison $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$C(5, 2).

   → Arrangements et combinaisons
2. 2.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{2\times 6}=\frac{120}{12}$C(5, 2) = 5!/(2! 3!) = 120/(2× 6) = 120/12.
3. 3.
   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$C(5, 2) = 10.

Méthode utilisée : Choix non ordonné : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$C(5, 2).

Erreur fréquente : Compter l'ordre (on obtiendrait $20$20).

1. 1.
   On ordonne tous les objets : c'est une permutation, donc $5!$5!.

   → Factorielle et permutations
2. 2.
   $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120.

Méthode utilisée : Nombre de rangements de $5$5 objets : $5!$5!.

Erreur fréquente : Calculer $5\times 5$5× 5 au lieu de $5!$5!.

1. 1.
   L'ordre compte (être 1ᵉʳ ou 2ᵉ n'est pas pareil) et il n'y a pas de répétition : c'est un arrangement $A_5^2$A₅².

   → Arrangements et combinaisons
2. 2.
   $A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=5\times 4$A₅² = 5!/((5-2)!) = 5!/3! = 5× 4.
3. 3.
   $A_5^2=20$A₅² = 20.

Méthode utilisée : Choix ordonné de $2$2 parmi $5$5 : $5\times 4$5× 4.

Erreur fréquente : Utiliser une combinaison alors que l'ordre du podium compte.

1. 1.
   Chaque chiffre a $10$10 possibilités, et les répétitions sont permises : principe multiplicatif.

   → Principe multiplicatif
2. 2.
   $N=10\times 10\times 10\times 10=10^4$N = 10× 10× 10× 10 = 10⁴.
3. 3.
   $N=10000$N = 10 000 codes.

Méthode utilisée : Principe multiplicatif : $10^4$10⁴.

Erreur fréquente : Calculer $10\times 4$10× 4 au lieu de $10^4$10⁴.

1. 1.
   Choix ordonné sans répétition : $5\times 4\times 3$5× 4× 3.

   → Principe multiplicatif
2. 2.
   $=60$=60.

Méthode utilisée : Arrangement : on multiplie les choix décroissants.

Erreur fréquente : Diviser par $3!$3! (ce serait une combinaison).

1. 1.
   $4!=4\times 3\times 2\times 1$4!=4× 3× 2× 1.

   → Factorielle et permutations
2. 2.
   $=24$=24.

Méthode utilisée : Nombre de permutations de $n$n objets : $n!$n!.

Erreur fréquente : Calculer $4\times 4$4× 4 au lieu de $4!$4!.

1. 1.
   $10$10 choix par position : $10\times 10\times 10\times 10$10× 10× 10× 10.

   → Principe multiplicatif
2. 2.
   $=10^4=10000$=10⁴=10 000.

Méthode utilisée : Principe multiplicatif avec répétition : $10^4$10⁴.

Erreur fréquente : Faire $10\times 4$10× 4 au lieu de $10^4$10⁴.

1. 1.
   $3\times 4\times 2$3× 4× 2.

   → Principe multiplicatif
2. 2.
   $=24$=24.

Méthode utilisée : Principe multiplicatif sur trois étapes indépendantes.

Erreur fréquente : Additionner $3+4+2$3+4+2.

1. 1.
   $4!=24$4!=24.

   → Factorielle et permutations

Méthode utilisée : Permutations de $4$4 lettres distinctes.

Erreur fréquente : Calculer $4\times 4$4× 4.

1. 1.
   $26^2\times 10^3=676\times 1000$26²× 10³=676× 1000.

   → Principe multiplicatif
2. 2.
   $=676000$=676 000.

Méthode utilisée : Principe multiplicatif avec répétition.

Erreur fréquente : Additionner les possibilités.