Dérivée et variations — exercices types corrigés

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x) = 2x - 4, nul en $x=2$x = 2.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }<0$f' < 0 avant $2$2, $f^{\prime }>0$f' > 0 après : décroissante puis croissante.

Méthode utilisée : On calcule $f^{\prime }$f', on étudie son signe, puis on en déduit les variations.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3>0$f'(x) = 3 > 0 partout.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$f'(x) = 3x² ≥ 0 pour tout $x$x.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ (dérivée positive).

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-6$f'(x) = 2x - 6, nul en $x=3$x = 3.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }<0$f' < 0 avant $3$3, $f^{\prime }>0$f' > 0 après : décroissante puis croissante (minimum en $3$3).

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-2x+4$f'(x) = -2x + 4, nul en $x=2$x = 2.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 avant $2$2, $f^{\prime }<0$f' < 0 après : croissante puis décroissante (maximum en $2$2).

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2>0$f'(x) = 2 > 0 partout.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-3<0$f'(x) = -3 < 0 partout.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f$f est décroissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$f'(x) = 3x² - 12 = 3(x-2)(x+2), nul en $-2$-2 et $2$2.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 hors de $[-2;2]$[-2 ;2], $f^{\prime }<0$f' < 0 entre : croissante, décroissante, puis croissante.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2+1$f'(x) = 3x² + 1.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $3x^2\ge 0$3x² ≥ 0 donc $f^{\prime }(x)\ge 1>0$f'(x) ≥ 1 > 0 : $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Méthode utilisée : Si $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 partout, $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Erreur fréquente : Croire à un extremum : $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$f'(x)=3x²+1>0 ne s'annule jamais.

1. 1.
   $B^{\prime }(x)=-2x+10$B'(x) = -2x + 10, nul en $x=5$x = 5.

   → Signe de f' et variations
2. 2.
   $B^{\prime }$B' passe de $+$+ à $-$- : maximum en $x=5$x = 5.
3. 3.
   $B(5)=-25+50-9=16$B(5) = -25 + 50 - 9 = 16 milliers d'€.