L'extremum d'une fonction — exercices types corrigés

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-4=0⟺x=2$f'(x) = 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2, changement $-\to +$-→+.

   → Condition d'extremum
2. 2.
   Minimum $f(2)=-3$f(2) = -3.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0, puis nature donnée par le signe de $f^{\prime }$f'.

Erreur fréquente : Oublier de préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-2x+2=0⟺x=1$f'(x) = -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1, changement $+\to -$+→-.

   → Condition d'extremum
2. 2.
   Maximum $f(1)=4$f(1) = 4.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0 ; ici $a<0$a<0 donc maximum.

Erreur fréquente : Conclure « minimum » alors que la parabole est tournée vers le bas.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2=0⟺x=0$f'(x) = 3x² = 0 ⇔ x = 0, mais $f^{\prime }\ge 0$f' ≥ 0 des deux côtés.

   → Condition d'extremum
2. 2.
   Pas de changement de signe : aucun extremum.

Méthode utilisée : Un extremum exige que $f^{\prime }$f' s'annule EN CHANGEANT de signe.

Erreur fréquente : Croire que $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0 suffit : pour $x^3$x³, $f^{\prime }=3x^2\ge 0$f'=3x²≥ 0 ne change pas de signe.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2$f'(x)=2x-4=0⇒ x=2.

Méthode utilisée : On cherche $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier la nature (min ou max).

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-2x+2=0\Rightarrow x=1$f'(x)=-2x+2=0⇒ x=1, $f(1)=1$f(1)=1.
2. 2.
   $a<0$a<0 : maximum.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0 puis signe de $a$a.

Erreur fréquente : Conclure minimum.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\pm 1$f'(x)=0⇒ x=± 1, et $f^{\prime }$f' change de signe en chacun.

Méthode utilisée : Annulation et changement de signe de $f^{\prime }$f'.

Erreur fréquente : Oublier qu'il faut un changement de signe.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3$f'(x)=2x-6=0⇒ x=3.
2. 2.
   $f(3)=9-18+5=-4$f(3)=9-18+5=-4.

Méthode utilisée : On calcule $f$f au point où $f^{\prime }$f' s'annule.

Erreur fréquente : Donner $x=3$x=3 comme valeur du minimum.

1. 1.
   Largeur $x$x, longueur $10-x$10-x ; aire $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$A(x)=x(10-x)=10x-x².
2. 2.
   $A^{\prime }(x)=10-2x=0\Rightarrow x=5$A'(x)=10-2x=0⇒ x=5, $A(5)=25$A(5)=25.

Méthode utilisée : Mise en équation puis extremum par la dérivée.

Erreur fréquente : Oublier la contrainte de périmètre.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-8=0\Rightarrow x=4$f'(x)=2x-8=0⇒ x=4 (minimum).

   → Condition d'extremum

Méthode utilisée : $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0.

Erreur fréquente : Oublier la nature.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-4x+4=0\Rightarrow x=1$f'(x)=-4x+4=0⇒ x=1, $f(1)=3$f(1)=3.

   → Condition d'extremum
2. 2.
   $a<0$a<0 : maximum.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0 puis signe de $a$a.

Erreur fréquente : Conclure minimum.