Exercices types · Première spé maths

Minimum et maximum — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Minimum sur ℝ

Niveau 2 · Méthode complète

Donner le minimum de

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x) = x² - 4x + 1.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 2 x - 4$ f'(x) = 2x - 4, minimum en $x = 2$ x = 2.
→ Min/max sur un intervalle
2.
$f (2) = - 3$ f(2) = -3.

Réponse : Minimum

- 3

-3 en

x = 2

x = 2.

Méthode utilisée : $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0 puis on calcule $f$ f en ce point.

Erreur fréquente : Donner $x = 2$ x=2 comme valeur du minimum (c'est l'abscisse).

Sur un intervalle fermé

Niveau 3 · Type contrôle

Donner le minimum et le maximum de

f (x) = x^{2}

f(x) = x² sur

[1; 3]

[1 ;3].

Voir la correction

1.
Sur $[1; 3]$ [1 ;3], $f$ f est croissante ( $f^{'} (x) = 2 x > 0$ f'(x) = 2x > 0).
→ Min/max sur un intervalle
2.
Minimum $f (1) = 1$ f(1) = 1, maximum $f (3) = 9$ f(3) = 9 (aux bornes).

Réponse : Min

1

1 en

1

1, max

9

9 en

3

Méthode utilisée : Sur un segment, on compare aussi les valeurs aux bornes.

Erreur fréquente : Oublier d'évaluer $f$ f aux bornes $1$ 1 et $3$ 3.

Maximum d'une parabole

Niveau 2 · Méthode complète

Donner le maximum de

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

f(x) = -x² + 2x + 3.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = - 2 x + 2$ f'(x) = -2x + 2, maximum en $x = 1$ x = 1.
→ Min/max sur un intervalle
2.
$f (1) = 4$ f(1) = 4.

Réponse : Maximum

4

4 en

x = 1

x = 1.

Méthode utilisée : $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0 ; $a < 0$ a<0 donne un maximum.

Erreur fréquente : Confondre l'abscisse $x = 1$ x=1 et la valeur $4$ 4.

Forme canonique (min)

Niveau 1 · Application directe

Soit

f (x) = (x - 2)^{2} + 3

f(x)=(x-2)²+3. Donner le minimum.

Voir la correction

1.
Un carré est $\geq 0$ ≥ 0, donc $f (x) \geq 3$ f(x)≥ 3.

Réponse : Minimum

3

3 en

x = 2

x=2.

Méthode utilisée : Lecture sur la forme canonique.

Erreur fréquente : Donner $2$ 2 comme minimum.

Forme canonique (max)

Niveau 1 · Application directe

Soit

f (x) = - (x + 1)^{2} + 5

f(x)=-(x+1)²+5. Donner le maximum.

Voir la correction

1.
$- (x + 1)^{2} \leq 0$ -(x+1)²≤ 0, donc $f (x) \leq 5$ f(x)≤ 5.

Réponse : Maximum

5

5 en

x = - 1

x=-1.

Méthode utilisée : Le coefficient négatif donne un maximum.

Erreur fréquente : Conclure minimum.

Avec la dérivée

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{2} - 6 x + 5

f(x)=x²-6x+5. Déterminer le minimum avec la dérivée.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ f'(x)=2x-6=0⇒ x=3, $f (3) = - 4$ f(3)=-4.

Réponse : Minimum

- 4

-4 en

x = 3

x=3.

Méthode utilisée : $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0 puis valeur $f (3)$ f(3).

Erreur fréquente : Oublier de calculer $f (3)$ f(3).

Sur un intervalle

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{2}

f(x)=x² sur

[0; 3]

[0 ;3]. Donner le minimum et le maximum.

Voir la correction

1.
Croissante sur $[0; 3]$ [0 ;3] : min $f (0) = 0$ f(0)=0, max $f (3) = 9$ f(3)=9.

Réponse : Min

0

0, max

9

Méthode utilisée : Sur un segment, on regarde aussi les bornes.

Erreur fréquente : Oublier d'évaluer aux bornes.

Bénéfice maximal (type contrôle)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Le bénéfice est

B (x) = - 2 x^{2} + 40 x - 150

B(x)=-2x²+40x-150 (€). Quel est le bénéfice maximal ?

Voir la correction

1.
$B^{'} (x) = - 4 x + 40 = 0 \Rightarrow x = 10$ B'(x)=-4x+40=0⇒ x=10.
2.
$B (10) = - 200 + 400 - 150 = 50$ B(10)=-200+400-150=50.

Réponse : Bénéfice maximal

50

50 € pour

x = 10

x=10.

Méthode utilisée : Extremum d'une fonction du second degré.

Erreur fréquente : Donner $x = 10$ x=10 comme bénéfice.

Forme canonique

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = (x + 3)^{2} - 7

f(x)=(x+3)²-7. Donner le minimum.

Voir la correction

1.
Un carré est $\geq 0$ ≥ 0 : minimum $- 7$ -7 en $x = - 3$ x=-3.
→ Min/max sur un intervalle

Réponse : Minimum

- 7

-7.

Méthode utilisée : Lecture canonique.

Erreur fréquente : Donner $- 3$ -3.

Sur un intervalle (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = - x^{2} + 4 x

f(x)=-x²+4x sur

[0; 4]

[0 ;4]. Donner le maximum.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ f'(x)=-2x+4=0⇒ x=2, $f (2) = 4$ f(2)=4.
→ Min/max sur un intervalle
2.
Aux bornes $f (0) = f (4) = 0$ f(0)=f(4)=0, donc max $= 4$ =4.

Réponse : Maximum

4

4 en

x = 2

x=2.

Méthode utilisée : Dérivée et bornes du segment.

Erreur fréquente : Oublier d'évaluer les bornes.

Tout sur dérivation en première

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

Besoin de revoir le cours avant de t'entraîner ?

Cours : Minimum et maximum →Variations et extremums (PDF) →

Minimum et maximum — exercices types corrigés

Minimum sur ℝ

Sur un intervalle fermé

Maximum d'une parabole

Forme canonique (min)

Forme canonique (max)

Avec la dérivée

Sur un intervalle

Bénéfice maximal (type contrôle)

Forme canonique

Sur un intervalle (type contrôle)

Tout sur dérivation en première

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen