Exercices types · Première spé maths

Le signe de la dérivée — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Dérivée affine

Niveau 1 · Application directe

Étudier le signe de

f^{'} (x) = 2 x - 4

f'(x) = 2x - 4.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2$ f'(x) = 0 ⇔ x = 2.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} < 0$ f' < 0 pour $x < 2$ x < 2, $f^{'} > 0$ f' > 0 pour $x > 2$ x > 2.

Réponse : Négative avant

2

2, positive après.

Dérivée du second degré

Niveau 2 · Méthode complète

Étudier le signe de

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

f'(x) = 3x² - 3.

Voir la correction

1.
Racines : $x = - 1$ x = -1 et $x = 1$ x = 1, $a = 3 > 0$ a = 3 > 0.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} > 0$ f' > 0 hors de $[- 1; 1]$ [-1 ;1], $f^{'} < 0$ f' < 0 sur $] - 1; 1 [$ ]-1 ;1[.

Réponse : Positive hors de

[- 1; 1]

[-1 ;1], négative entre.

Dérivée de signe constant

Niveau 1 · Application directe

Quel est le signe de

f^{'} (x) = x^{2} + 1

f'(x) = x² + 1 ?

Voir la correction

1.
$x^{2} \geq 0$ x² ≥ 0, donc $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ x² + 1 ≥ 1 > 0.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'}$ f' est strictement positive partout : $f$ f est croissante.

Réponse : Toujours positive.

Signe de la dérivée d'une parabole

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x) = x² - 4x + 1. Étudier le signe de

f^{'}

f' et en déduire les variations.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 2 x - 4$ f'(x) = 2x - 4, qui s'annule en $2$ 2.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} < 0$ f' < 0 sur $] - \infty; 2 [$ ]-∞ ;2[ (décroissante), $f^{'} > 0$ f' > 0 sur $] 2; + \infty [$ ]2 ;+∞[ (croissante).

Réponse : Décroissante puis croissante, minimum en

x = 2

x = 2.

Fonction toujours croissante

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{3} + x

f(x) = x³ + x. Montrer que

f

f est croissante sur

R

ℝ.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ f'(x) = 3x² + 1.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$3 x^{2} + 1 > 0$ 3x² + 1 > 0 pour tout $x$ x : $f$ f est croissante sur $R$ ℝ.

Réponse :

f^{'} (x) > 0

f'(x) > 0 partout : croissante sur

R

ℝ.

Deux changements de signe

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = x^{3} - 3 x

f(x) = x³ - 3x. Étudier le signe de

f^{'}

f'.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1), racines $- 1$ -1 et $1$ 1.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} > 0$ f' > 0 sur $] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ ]-∞ ;-1[∪]1 ;+∞[, $f^{'} < 0$ f' < 0 sur $] - 1; 1 [$ ]-1 ;1[.

Réponse : Croissante, puis décroissante sur

] - 1; 1 [

]-1 ;1[, puis croissante.

Maximum

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f

f telle que

f^{'} (x) = - 2 x + 6

f'(x) = -2x + 6. Où

f

f atteint-elle un maximum ?

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0 en $x = 3$ x = 3 ; $f^{'} > 0$ f' > 0 avant, $f^{'} < 0$ f' < 0 après.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f$ f croît puis décroît : maximum en $x = 3$ x = 3.

Réponse : Maximum en

x = 3

x = 3.

Dresser le tableau de signes

Niveau 3 · Type contrôle

La dérivée d'une fonction est

f^{'} (x) = (x - 1) (x - 4)

f'(x) = (x - 1)(x - 4). Donner les variations de

f

Voir la correction

1.
Racines $1$ 1 et $4$ 4, coefficient dominant positif : $f^{'} > 0$ f' > 0 à l'extérieur, $f^{'} < 0$ f' < 0 entre.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f$ f croît sur $] - \infty; 1]$ ]-∞ ;1], décroît sur $[1; 4]$ [1 ;4], croît sur $[4; + \infty [$ [4 ;+∞[.

Réponse : Croît, décroît sur

[1; 4]

[1 ;4], puis croît.

Cubique

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = x^{3} - 12 x

f(x)=x³-12x. Étudier le signe de

f^{'}

f' et en déduire les variations.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ f'(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2), racines $- 2$ -2 et $2$ 2.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} > 0$ f'>0 hors $[- 2; 2]$ [-2 ;2], $f^{'} < 0$ f'<0 entre : $f$ f croît, décroît sur $[- 2; 2]$ [-2 ;2], puis croît.

Réponse : Croissante, décroissante sur

[- 2; 2]

[-2 ;2], puis croissante.

Méthode utilisée : Signe de $f^{'}$ f' (trinôme) puis variations.

Erreur fréquente : Confondre le signe de $f$ f et celui de $f^{'}$ f'.

Polynôme de degré 3 (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Soit

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x

f(x)=2x³-3x²-12x. Déterminer les variations de

f

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x - 2) (x + 1)$ f'(x)=6x²-6x-12=6(x-2)(x+1), racines $- 1$ -1 et $2$ 2.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} > 0$ f'>0 hors $[- 1; 2]$ [-1 ;2], $f^{'} < 0$ f'<0 entre.

Réponse : Croissante sur

] - \infty; - 1]

]-∞ ;-1], décroissante sur

[- 1; 2]

[-1 ;2], croissante sur

[2; + \infty [

[2 ;+∞[.

Méthode utilisée : Dérivée factorisée puis tableau de signes.

Erreur fréquente : Mal factoriser $6 x^{2} - 6 x - 12$ 6x²-6x-12.

Tout sur dérivation en première

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

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