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Formule · Première spé maths

Formule : Extremum et changement de signe

Un extremum apparaît là où la dérivée change de signe.

f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀

Ce que dit la formule

Si f' passe de + à - en x₀, la fonction monte puis descend : x₀ est un maximum. Si f' passe de - à +, la fonction descend puis monte : x₀ est un minimum.

La valeur de l'extremum est f(x₀) (on calcule l'image), à reporter dans le tableau.

Le mécanisme est visuel : la fonction monte tant que f' est positive, descend quand elle devient négative. Le point de bascule est un sommet, donc un maximum. Le raisonnement inverse donne le minimum.

L'annulation seule ne suffit pas, et c'est ce qui distingue un extremum d'un simple palier : pour f(x) = x³, la dérivée touche zéro en 0 sans changer de signe, la courbe continue de monter.

Exemple

Pour f(x) = -x² + 2x + 3 : f' passe de + à - en x = 1, donc maximum f(1) = 4.

Deuxième exemple

Pour f(x) = x³ - 3x : f'(x) = 3x² - 3 passe du positif au négatif en -1, d'où un maximum local f(-1) = 2 ; puis du négatif au positif en 1, d'où un minimum local f(1) = -2.

Piège à éviter

f'(x₀) = 0 ne suffit pas : il faut un vrai changement de signe pour avoir un extremum.

Les autres formules de le tableau de variation

Règle : signe de f' et variations →f'(x) > 0 ⇒ f ↗ f'(x) < 0 ⇒ f ↘

Questions fréquentes

Comment savoir si c'est un maximum ou un minimum ?
Par le sens du changement : de + à - c'est un maximum, de - à + c'est un minimum. Le tableau de signes le montre directement.
Un extremum peut-il exister là où f' ne s'annule pas ?
Sur un intervalle fermé, oui : le maximum peut être atteint en une borne. Le critère ne concerne que les extremums intérieurs.
Faut-il calculer la valeur de l'extremum ?
Oui : l'extremum est f(x₀), pas x₀. On précise à la fois la valeur et l'abscisse où elle est atteinte.

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