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Formule · Première spé maths

Formule : Règle : signe de f' et variations

Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

f'(x) > 0 ⇒ f ↗ f'(x) < 0 ⇒ f ↘

Ce que dit la formule

La règle fondamentale : sur un intervalle où f'(x) > 0, la fonction f est croissante ; sur un intervalle où f'(x) < 0, elle est décroissante. Si f'(x) = 0 sur tout un intervalle, f y est constante.

C'est cette règle qui remplit la troisième ligne du tableau : on traduit chaque signe de f' par une flèche montante (↗) ou descendante (↘).

Le tableau se lit en trois lignes : les valeurs de x avec les bornes et les zéros de f', le signe de f' sur chaque intervalle, puis les flèches de variation de f avec les images aux points remarquables.

C'est la synthèse de toute l'étude d'une fonction : on y lit d'un coup d'œil les extremums, les intervalles de monotonie, et souvent le nombre de solutions d'une équation.

Exemple

Pour f(x) = -x² + 2x + 3, f'(x) = -2x + 2 : positif avant x = 1 (f croît), négatif après (f décroît).

Deuxième exemple

Pour f(x) = x³ - 3x : f'(x) = 3x² - 3 est positive avant -1, négative entre -1 et 1, positive après. Le tableau montre donc une montée jusqu'à f(-1) = 2, une descente jusqu'à f(1) = -2, puis une remontée.

Piège à éviter

Le sens de variation se lit sur le signe de f', pas sur celui de f. Une fonction peut être négative tout en étant croissante.

Les autres formules de le tableau de variation

Extremum et changement de signe →f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀

Questions fréquentes

Que met-on dans la première ligne ?
Les bornes du domaine et les valeurs où f' s'annule ou n'existe pas, rangées dans l'ordre croissant.
Faut-il indiquer les images aux extremums ?
Oui : les flèches doivent pointer vers des valeurs précises, ce sont elles qui rendent le tableau exploitable.
À quoi sert le tableau pour une équation ?
À compter les solutions de f(x) = k : chaque branche monotone traverse au plus une fois la valeur k.

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