Exercices types · Première spé maths

La tangente à une courbe — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Tangente à une parabole

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la tangente à

f (x) = x^{2}

f(x) = x² au point d'abscisse

1

Voir la correction

1.
$f (1) = 1$ f(1) = 1 et $f^{'} (1) = 2$ f'(1) = 2.
→ Équation de la tangente
2.
$y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1.

Réponse :

y = 2 x - 1

y = 2x - 1.

Méthode utilisée : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y=f'(a)(x-a)+f(a).

Erreur fréquente : Oublier le terme $+ f (a)$ +f(a).

En un autre point

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la tangente à

f (x) = x^{2}

f(x) = x² en

a = 2

a = 2.

Voir la correction

1.
$f (2) = 4$ f(2) = 4, $f^{'} (2) = 4$ f'(2) = 4.
→ Équation de la tangente
2.
$y = 4 (x - 2) + 4 = 4 x - 4$ y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4.

Réponse :

y = 4 x - 4

y = 4x - 4.

Méthode utilisée : Même formule de tangente en $a = 2$ a=2.

Erreur fréquente : Mal développer $f^{'} (2) (x - 2) = 4 (x - 2)$ f'(2)(x-2)=4(x-2).

Tangente à un cube

Niveau 3 · Type contrôle

Déterminer la tangente à

f (x) = x^{3}

f(x) = x³ en

a = 1

a = 1.

Voir la correction

1.
$f (1) = 1$ f(1) = 1, $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x) = 3x² donc $f^{'} (1) = 3$ f'(1) = 3.
→ Équation de la tangente
2.
$y = 3 (x - 1) + 1 = 3 x - 2$ y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2.

Réponse :

y = 3 x - 2

y = 3x - 2.

Méthode utilisée : Tangente avec $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x)=3x².

Erreur fréquente : Confondre $f^{'} (1)$ f'(1) (la pente) et $f (1)$ f(1).

Tangente à la parabole

Niveau 1 · Application directe

Soit

f (x) = x^{2}

f(x)=x². Donner l'équation de la tangente en

a = 1

a=1.

Voir la correction

1.
$f (1) = 1$ f(1)=1 ; $f^{'} (x) = 2 x$ f'(x)=2x donc $f^{'} (1) = 2$ f'(1)=2.
2.
$y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ y=2(x-1)+1=2x-1.

Réponse :

y = 2 x - 1

y=2x-1.

Méthode utilisée : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y=f'(a)(x-a)+f(a).

Erreur fréquente : Oublier le terme $+ f (a)$ +f(a).

Autre point

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{2}

f(x)=x². Tangente en

a = 3

a=3 ?

Voir la correction

1.
$f (3) = 9$ f(3)=9, $f^{'} (3) = 6$ f'(3)=6.
2.
$y = 6 (x - 3) + 9 = 6 x - 9$ y=6(x-3)+9=6x-9.

Réponse :

y = 6 x - 9

y=6x-9.

Méthode utilisée : Formule de la tangente.

Erreur fréquente : Mal développer $6 (x - 3)$ 6(x-3).

Fonction cube

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{3}

f(x)=x³. Tangente en

a = 1

a=1 ?

Voir la correction

1.
$f (1) = 1$ f(1)=1, $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x)=3x² donc $f^{'} (1) = 3$ f'(1)=3.
2.
$y = 3 (x - 1) + 1 = 3 x - 2$ y=3(x-1)+1=3x-2.

Réponse :

y = 3 x - 2

y=3x-2.

Méthode utilisée : Tangente avec $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x)=3x².

Erreur fréquente : Confondre $f^{'} (1)$ f'(1) et $f (1)$ f(1).

Tangente horizontale

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x)=x²-4x+1. Montrer que la tangente en

a = 2

a=2 est horizontale.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 2 x - 4$ f'(x)=2x-4 donc $f^{'} (2) = 0$ f'(2)=0.
2.
$f (2) = - 3$ f(2)=-3, donc $y = - 3$ y=-3.

Réponse :

y = - 3

y=-3 (horizontale).

Méthode utilisée : $f^{'} (a) = 0$ f'(a)=0 donne une tangente horizontale.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $f (2)$ f(2).

Fonction inverse (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = \frac{1}{x}

f(x)=1/x. Tangente en

a = 2

a=2 ?

Voir la correction

1.
$f (2) = 0, 5$ f(2)=0,5 ; $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ f'(x)=-1/x² donc $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ f'(2)=-1/4.
2.
$y = - \frac{1}{4} (x - 2) + 0, 5 = - 0, 25 x + 1$ y=-1/4(x-2)+0,5=-0,25x+1.

Réponse :

y = - 0, 25 x + 1

y=-0,25x+1.

Méthode utilisée : Tangente avec $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ f'(x)=-1/x².

Erreur fréquente : Se tromper de signe sur la dérivée de $\frac{1}{x}$ 1/x.

En a = −1

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = x^{2}

f(x)=x². Équation de la tangente en

a = - 1

a=-1.

Voir la correction

1.
$f (- 1) = 1$ f(-1)=1, $f^{'} (- 1) = - 2$ f'(-1)=-2.
→ Équation de la tangente
2.
$y = - 2 (x + 1) + 1 = - 2 x - 1$ y=-2(x+1)+1=-2x-1.

Réponse :

y = - 2 x - 1

y=-2x-1.

Méthode utilisée : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y=f'(a)(x-a)+f(a).

Erreur fréquente : Erreur de signe avec $a = - 1$ a=-1.

Polynôme (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

f (x) = x^{2} + x

f(x)=x²+x. Tangente en

a = 1

a=1.

Voir la correction

1.
$f (1) = 2$ f(1)=2, $f^{'} (x) = 2 x + 1$ f'(x)=2x+1, $f^{'} (1) = 3$ f'(1)=3.
→ Équation de la tangente
2.
$y = 3 (x - 1) + 2 = 3 x - 1$ y=3(x-1)+2=3x-1.

Réponse :

y = 3 x - 1

y=3x-1.

Méthode utilisée : Formule de la tangente.

Erreur fréquente : Confondre $f (1)$ f(1) et $f^{'} (1)$ f'(1).

Tout sur dérivation en première

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

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