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Méthode · Première spé maths

Calculer le coefficient directeur d'une tangente

Le nombre dérivé f'(a) est exactement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Calculer ce coefficient revient donc à dériver la fonction, puis à remplacer x par a — dans cet ordre, jamais l'inverse. Le résultat se lit comme une pente : positif, la courbe monte en ce point ; négatif, elle descend ; nul, la tangente est horizontale. C'est aussi le premier ingrédient de l'équation de la tangente, y = f'(a)(x-a) + f(a).

Les étapes

  1. 1

    Dériver f

    On calcule f'(x).
  2. 2

    Évaluer en a

    Le coefficient directeur est f'(a).

Exemple corrigé

Donner le coefficient directeur de la tangente à f(x) = x² en a = 3.

  1. 1.f'(x) = 2x.
  2. 2.m = f'(3) = 6.
Résultat : m = 6.

Deuxième exemple

Donner le coefficient directeur de la tangente à f(x) = x³ - 3x en a = 1.

  1. 1.f'(x) = 3x² - 3.
  2. 2.f'(1) = 3 × 1 - 3 = 0.
  3. 3.Le coefficient directeur est nul : la tangente est horizontale en ce point.
Résultat : m = 0.

Piège à éviter

Bien dériver avant de remplacer par a.

Questions fréquentes

Faut-il dériver avant ou après avoir remplacé par a ?
Avant, toujours. Remplacer d'abord donne f(a), un nombre, dont la dérivée vaut 0.
Que signifie un coefficient directeur nul ?
La tangente est horizontale. C'est souvent le signe d'un maximum ou d'un minimum local, mais pas toujours : pour f(x) = x³ en 0, la courbe traverse sa tangente sans extremum.
Comment obtenir l'équation complète de la tangente ?
On complète avec l'ordonnée : y = f'(a)(x-a) + f(a). Le coefficient directeur ne donne que la pente.

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