Les étapes

1
Calculer l'espérance E(X)
On applique $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ : chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis on additionne.
2
Calculer E(X²)
On applique $E (X^{2}) = \sum_{i} x_{i}^{2} p_{i}$ E(X²)=Σᵢ xᵢ² pᵢ : on élève chaque valeur $x_{i}$ xᵢ au carré (et non sa probabilité), on multiplie par $p_{i}$ pᵢ, puis on additionne.
3
Appliquer König-Huygens
On conclut avec $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ V(X)=E(X²)-(E(X))². On vérifie que le résultat est positif ou nul : sinon il y a une erreur de calcul.

Exemple corrigé

On donne la loi : $P (X = 1) = 0, 2$ P(X=1)=0,2, $P (X = 2) = 0, 5$ P(X=2)=0,5, $P (X = 3) = 0, 3$ P(X=3)=0,3. Calculer $V (X)$ V(X).

1. $E (X) = 1 \times 0, 2 + 2 \times 0, 5 + 3 \times 0, 3 = 0, 2 + 1 + 0, 9 = 2, 1$ E(X)=1× 0,2 + 2× 0,5 + 3× 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1.
2. $E (X^{2}) = 1^{2} \times 0, 2 + 2^{2} \times 0, 5 + 3^{2} \times 0, 3 = 0, 2 + 2 + 2, 7 = 4, 9$ E(X²)=1²× 0,2 + 2²× 0,5 + 3²× 0,3 = 0,2 + 2 + 2,7 = 4,9.
3. $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 4, 9 - 2, 1^{2} = 4, 9 - 4, 41 = 0, 49$ V(X)=E(X²)-(E(X))² = 4,9 - 2,1² = 4,9 - 4,41 = 0,49.

Résultat :

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49 (et

σ (X) = 0, 49 = 0, 7

σ(X)=√(0,49)=0,7).

Vérifier d'abord que la somme des probabilités vaut

1

1. Et ne jamais oublier le carré sur l'espérance dans

E (X^{2}) - (E (X))^{2}

E(X²)-(E(X))².

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Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

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