Les étapes

1
Résoudre f'(x) = 0
On trouve les valeurs où $f^{'}$ f' s'annule.
2
Étudier le signe
Sur chaque intervalle (règle du signe d'un trinôme ou d'une fonction affine).
3
Conclure sur les variations
$f^{'} > 0$ f' > 0 → croissante ; $f^{'} < 0$ f' < 0 → décroissante.

Exemple corrigé

Étudier le signe de $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ f'(x) = 3x² - 3 pour en déduire les variations.

1. $f^{'} (x) = 0 ⟺ x^{2} = 1 ⟺ x = - 1$ f'(x) = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = -1 ou $x = 1$ x = 1.
2. $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 sur $] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ ]-∞ ;-1[∪]1 ;+∞[, $< 0$ < 0 sur $] - 1; 1 [$ ]-1 ;1[.
3. $f$ f croît, décroît, puis croît.

Résultat :

f^{'} > 0

f' > 0 hors de

[- 1; 1]

[-1 ;1],

f^{'} < 0

f' < 0 entre.

Quand

f^{'}

f' est un trinôme, on applique la règle du signe (signe de

a

a à l'extérieur des racines).

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.

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