Comment étudier le signe d'un trinôme ? Méthode et exemples

Q: Faut-il toujours passer par le discriminant ?

Non. Ici x2 = 4 se résout directement. Le discriminant n'est nécessaire que si aucune factorisation évidente n'apparaît.

Q: Comment dresser le tableau de signes ?

Une ligne pour x avec les racines dans l'ordre croissant, une ligne pour le trinôme avec les signes et les zéros aux racines.

Q: Que faire quand le trinôme n'a qu'une racine ?

Il garde le signe de a partout et s'annule uniquement en cette racine double, sans changer de signe.

Les étapes

1
Trouver les racines
Avec le discriminant (ou l'absence de racine).
2
Appliquer la règle
Signe de $a$ a à l'extérieur, signe opposé entre les racines.
3
Tableau de signes
On reporte les racines et les signes sur chaque intervalle.

Exemple corrigé

Étudier le signe de $x^{2} - x - 6$ x² - x - 6.

1.Racines : $Δ = 25$ Δ = 25, $x_{1} = - 2$ x₁ = -2, $x_{2} = 3$ x₂ = 3.
2. $a = 1 > 0$ a = 1 > 0 : positif à l'extérieur de $[- 2; 3]$ [-2 ;3], négatif entre.
3.Donc $> 0$ > 0 sur $] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [$ ]-∞ ;-2[∪]3 ;+∞[, $< 0$ < 0 sur $] - 2; 3 [$ ]-2 ;3[.

Résultat : Positif hors de

[- 2; 3]

[-2 ;3], négatif sur

] - 2; 3 [

]-2 ;3[.

Deuxième exemple

Étudier le signe de $- 2 x^{2} + 8$ -2x² + 8.

1.On résout $- 2 x^{2} + 8 = 0$ -2x² + 8 = 0, soit $x^{2} = 4$ x² = 4 : les racines sont $- 2$ -2 et $2$ 2.
2. $a = - 2 < 0$ a = -2 < 0 : le signe de $a$ a est celui de l'extérieur, l'opposé entre les racines.
3.Le trinôme est donc négatif sur $] - \infty; - 2 [$ ]-∞ ;-2[ et sur $] 2; + \infty [$ ]2 ;+∞[, positif sur $] - 2; 2 [$ ]-2 ;2[.

Résultat : Positif sur

] - 2; 2 [

]-2 ;2[, négatif à l'extérieur, nul en

- 2

-2 et

2

Piège à éviter

Sans racine (

Δ < 0

Δ < 0), le trinôme garde le signe de

a

a partout.

Questions fréquentes

Faut-il toujours passer par le discriminant ?

Non. Ici

x^{2} = 4

x² = 4 se résout directement. Le discriminant n'est nécessaire que si aucune factorisation évidente n'apparaît.

Comment dresser le tableau de signes ?

Une ligne pour

x

x avec les racines dans l'ordre croissant, une ligne pour le trinôme avec les signes et les zéros aux racines.

Que faire quand le trinôme n'a qu'une racine ?

Il garde le signe de

a

a partout et s'annule uniquement en cette racine double, sans changer de signe.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur second degré en première

Forme canonique, discriminant, racines, signe du trinôme et résolution d'inéquations.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spé Maths Première

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :

Le signe d'un trinôme →Exercices types →