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Méthode · Première spé maths

Résoudre une inéquation du second degré

Résoudre une inéquation du second degré, c'est étudier le signe d'un trinôme. On commence par tout ramener d'un même côté pour obtenir une comparaison à zéro, puis on cherche les racines avec le discriminant, et enfin on applique la règle du signe : celui de a à l'extérieur des racines, l'opposé entre elles. Les solutions forment un ou deux intervalles, dont les bornes sont incluses si l'inégalité est large et exclues si elle est stricte.

Les étapes

  1. 1

    Tout ramener à un membre

    On obtient ax² + bx + c comparé à 0.
  2. 2

    Étudier le signe

    On trouve les racines et on dresse le tableau de signes.
  3. 3

    Lire les solutions

    On garde les intervalles du bon signe, bornes incluses ou non selon l'inégalité.

Exemple corrigé

Résoudre x² - x - 6 ≤ 0.

  1. 1.Racines : -2 et 3 ; a = 1 > 0.
  2. 2.Le trinôme est ≤ 0 entre les racines.
  3. 3.S = [-2 ;3] (bornes incluses car ≤).
Résultat : S = [-2 ;3].

Deuxième exemple

Résoudre -x² + 4x + 5 > 0.

  1. 1.Δ = 16 + 20 = 36, donc les racines sont (-4 ± 6)/(-2), soit -1 et 5.
  2. 2.a = -1 < 0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
  3. 3.L'inégalité est stricte : les bornes sont exclues.
Résultat : S = ]-1 ;5[.

Piège à éviter

Bien gérer le sens de l'inégalité et l'inclusion des bornes.

Questions fréquentes

Que faire si le trinôme n'est pas comparé à zéro ?
On transpose tout d'un côté : x² + 3 > 2x devient x² - 2x + 3 > 0, puis on étudie le signe.
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ?
Le trinôme garde le signe de a partout. L'inéquation est alors vraie pour tout x, ou n'a aucune solution.
Comment gérer une inéquation large ?
Les racines sont incluses : x² - x - 6 ≤ 0 donne [-2 ;3] et non ]-2 ;3[.

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