Comment trouver le sommet d'une parabole ? Méthode et exemples

Q: Pourquoi l'ordonnée du sommet n'est-elle pas c ?

Parce que c = f(0) est l'ordonnée à l'origine, pas celle du sommet. Les deux ne coïncident que si = 0, c'est-à-dire si b = 0.

Q: Quel lien avec la forme canonique ?

La forme canonique a(x - )2 + contient directement les coordonnées du sommet : c'est la même information, écrite autrement.

Q: Comment vérifier ses coordonnées ?

En calculant l'image d'un point symétrique : f(1) et f(3) doivent être égales, puisque la parabole est symétrique par rapport à x = 2.

Les étapes pour trouver le sommet d'une parabole

1
Abscisse
$α = - \frac{b}{2 a}$ α = -b/2a.
2
Ordonnée
$β = f (α)$ β = f(α).
3
Nature
$a > 0$ a > 0 → minimum ; $a < 0$ a < 0 → maximum.

Exemple corrigé : trouver le sommet d'une parabole

Déterminer le sommet de la parabole $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ f(x) = 2x² - 8x + 5.

1. $α = - \frac{- 8}{2 \times 2} = 2$ α = -(-8)/(2× 2) = 2.
2. $β = f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3$ β = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3.
3. $a = 2 > 0$ a = 2 > 0 : le sommet $S (2; - 3)$ S(2 ;-3) est un minimum.

Résultat :

S (2; - 3)

S(2 ;-3), minimum.

Deuxième exemple

Déterminer le sommet de la parabole $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 7$ f(x) = -3x² + 12x - 7.

1. $α = - \frac{12}{2 \times ( - 3 )} = - \frac{12}{- 6} = 2$ α = -12/(2×(-3)) = -12/(-6) = 2.
2. $β = f (2) = - 12 + 24 - 7 = 5$ β = f(2) = -12 + 24 - 7 = 5.
3. $a = - 3 < 0$ a = -3 < 0 : la parabole est tournée vers le bas.

Résultat :

S (2; 5)

S(2 ;5), qui est un maximum.

Piège à éviter avec le sommet d'une parabole

Recalculer

β

β en remplaçant

x

x par

α

α, pas en lisant

c

Questions fréquentes sur le sommet d'une parabole

Pourquoi l'ordonnée du sommet n'est-elle pas c ?

Parce que

c = f (0)

c = f(0) est l'ordonnée à l'origine, pas celle du sommet. Les deux ne coïncident que si

α = 0

α = 0, c'est-à-dire si

b = 0

b = 0.

Quel lien avec la forme canonique ?

La forme canonique

a (x - α)^{2} + β

a(x - α)² + β contient directement les coordonnées du sommet : c'est la même information, écrite autrement.

Comment vérifier ses coordonnées ?

En calculant l'image d'un point symétrique :

f (1)

f(1) et

f (3)

f(3) doivent être égales, puisque la parabole est symétrique par rapport à

x = 2

x = 2.

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