MathLvl
Méthode · Première spé maths

Trouver le sommet d'une parabole

Le sommet d'une parabole est son point le plus haut ou le plus bas, et il se trouve en deux calculs. L'abscisse vaut α = -b/2a, formule directement issue de f'(x) = 0, puisque la tangente y est horizontale. L'ordonnée s'obtient ensuite en calculant l'image β = f(α) — jamais en lisant le coefficient c, qui ne donne que l'ordonnée à l'origine. Le signe de a indique enfin s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.

Les étapes

  1. 1

    Abscisse

    α = -b/2a.
  2. 2

    Ordonnée

    β = f(α).
  3. 3

    Nature

    a > 0 → minimum ; a < 0 → maximum.

Exemple corrigé

Déterminer le sommet de la parabole f(x) = 2x² - 8x + 5.

  1. 1.α = -(-8)/(2× 2) = 2.
  2. 2.β = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3.
  3. 3.a = 2 > 0 : le sommet S(2 ;-3) est un minimum.
Résultat : S(2 ;-3), minimum.

Deuxième exemple

Déterminer le sommet de la parabole f(x) = -3x² + 12x - 7.

  1. 1.α = -12/(2×(-3)) = -12/(-6) = 2.
  2. 2.β = f(2) = -12 + 24 - 7 = 5.
  3. 3.a = -3 < 0 : la parabole est tournée vers le bas.
Résultat : S(2 ;5), qui est un maximum.

Piège à éviter

Recalculer β en remplaçant x par α, pas en lisant c.

Questions fréquentes

Pourquoi l'ordonnée du sommet n'est-elle pas c ?
Parce que c = f(0) est l'ordonnée à l'origine, pas celle du sommet. Les deux ne coïncident que si α = 0, c'est-à-dire si b = 0.
Quel lien avec la forme canonique ?
La forme canonique a(x - α)² + β contient directement les coordonnées du sommet : c'est la même information, écrite autrement.
Comment vérifier ses coordonnées ?
En calculant l'image d'un point symétrique : f(1) et f(3) doivent être égales, puisque la parabole est symétrique par rapport à x = 2.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur second degré en première

Forme canonique, discriminant, racines, signe du trinôme et résolution d'inéquations.

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :

Le sommet d'une parabole →Exercices types →