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Méthode · Première spé maths

Trouver un extremum

Trouver un extremum d'une fonction se fait en trois temps, dont le deuxième est celui qu'on omet le plus souvent. On résout f'(x) = 0 pour obtenir les candidats, on vérifie que f' change effectivement de signe en chacun d'eux, puis on calcule la valeur f(x₀) qui est l'extremum lui-même. Le sens du changement de signe donne la nature : de positif à négatif c'est un maximum, de négatif à positif un minimum.

Les étapes

  1. 1

    Résoudre f'(x) = 0

    On trouve les candidats x₀.
  2. 2

    Vérifier le changement de signe

    f' doit changer de signe en x₀.
  3. 3

    Calculer l'extremum

    La valeur est f(x₀) (max si +→-, min si -→+).

Exemple corrigé

Trouver l'extremum de f(x) = x² - 4x + 1.

  1. 1.f'(x) = 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2.
  2. 2.f' passe de - à + : minimum en x = 2.
  3. 3.f(2) = 4 - 8 + 1 = -3.
Résultat : Minimum -3 en x = 2.

Deuxième exemple

Trouver les extremums de f(x) = x³ - 3x + 1.

  1. 1.f'(x) = 3x² - 3 s'annule en -1 et en 1.
  2. 2.f' passe du positif au négatif en -1 : maximum local f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3.
  3. 3.f' passe du négatif au positif en 1 : minimum local f(1) = 1 - 3 + 1 = -1.
Résultat : Maximum local 3 en x = -1, minimum local -1 en x = 1.

Piège à éviter

Toujours vérifier le changement de signe : f'(x₀) = 0 ne garantit pas un extremum.

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on d'extremum local ?
Parce qu'il ne vaut que sur un voisinage. Ici le maximum local 3 n'est pas le plus grand de la fonction, qui tend vers +∞.
Que faire si f' s'annule sans changer de signe ?
Il n'y a pas d'extremum : la tangente est horizontale mais la fonction poursuit son sens de variation. C'est le cas de x³ en 0.
L'extremum peut-il être atteint en plusieurs points ?
Oui, une fonction peut atteindre la même valeur maximale en plusieurs endroits, comme une fonction trigonométrique.

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