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Méthode · Première spé maths

Trouver un minimum et un maximum

Trouver le minimum et le maximum d'une fonction sur un intervalle demande un raisonnement complet, pas seulement une dérivée annulée. On dresse le tableau de variations à partir du signe de f', ce qui donne les extremums locaux. Puis, si l'intervalle est fermé, on compare ces valeurs à celles prises aux bornes : le maximum global peut très bien être atteint en une extrémité, là où la dérivée ne s'annule pas. Sur un intervalle ouvert ou sur ℝ, il faut regarder les limites, qui peuvent interdire l'existence d'un extremum.

Les étapes

  1. 1

    Tableau de variations

    On étudie le signe de f'.
  2. 2

    Repérer les extremums

    Aux changements de sens.
  3. 3

    Comparer

    Avec les valeurs aux bornes (intervalle fermé) pour conclure.

Exemple corrigé

Donner le minimum de f(x) = x² - 4x + 1 sur ℝ.

  1. 1.f'(x) = 2x - 4, minimum en x = 2.
  2. 2.f(2) = -3.
  3. 3.Pas de maximum sur ℝ (la fonction tend vers +∞).
Résultat : Minimum -3 ; pas de maximum.

Deuxième exemple

Donner le minimum et le maximum de f(x) = x³ - 12x sur [0 ;3].

  1. 1.f'(x) = 3x² - 12 s'annule en 2 sur cet intervalle, en passant du négatif au positif.
  2. 2.f(2) = 8 - 24 = -16 : c'est un minimum local.
  3. 3.Aux bornes : f(0) = 0 et f(3) = 27 - 36 = -9. On compare les trois valeurs.
Résultat : Minimum -16 en x = 2, maximum 0 en x = 0.

Piège à éviter

Sur ℝ, une parabole vers le haut a un minimum mais pas de maximum.

Questions fréquentes

Peut-on conclure sans dresser le tableau de variations ?
Sur un intervalle fermé, il suffit à la rigueur de comparer les valeurs aux points où f' s'annule et aux deux bornes. Le tableau reste plus sûr, et il est souvent exigé.
Que faire sur un intervalle ouvert ?
On étudie les limites aux bornes. Si la fonction tend vers +∞, il n'y a pas de maximum, même si un extremum local existe.
Une fonction a-t-elle toujours un minimum et un maximum ?
Sur un intervalle fermé et pour une fonction continue, oui, les deux existent. Sur un intervalle ouvert ou sur ℝ, l'un des deux peut manquer.

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