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Méthode · Première spé maths

Trouver une tangente à une courbe

Tracer ou déterminer une tangente à une courbe revient à identifier une droite par deux caractéristiques : elle passe par le point de la courbe d'abscisse a, et sa pente vaut le nombre dérivé f'(a). On calcule donc ces deux quantités, puis on assemble l'équation. Sur un graphique, la tangente se reconnaît à ce qu'elle épouse la courbe au point de contact sans la traverser, sauf en un point d'inflexion.

Les étapes

  1. 1

    Calculer f(a)

    On remplace x par a dans f.
  2. 2

    Calculer f'(a)

    On dérive, puis on remplace x par a.
  3. 3

    Écrire l'équation

    y = f'(a)(x - a) + f(a), puis on développe.

Exemple corrigé

Donner la tangente à f(x) = x² en a = 1.

  1. 1.f(1) = 1.
  2. 2.f'(x) = 2x, donc f'(1) = 2.
  3. 3.y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1.
Résultat : y = 2x - 1.

Deuxième exemple

Donner la tangente à f(x) = √(x) au point d'abscisse a = 4.

  1. 1.f(4) = √(4) = 2 : le point de tangence est (4 ;2).
  2. 2.f'(x) = 1/2√(x), donc f'(4) = 1/4.
  3. 3.y = 1/4(x - 4) + 2 = x/4 + 1.
Résultat : y = x/4 + 1.

Piège à éviter

Dériver d'abord, puis remplacer par a : f'(a), pas la dérivée du nombre f(a).

Questions fréquentes

Comment reconnaître une tangente sur un dessin ?
Elle touche la courbe en un point et suit sa direction à cet endroit, sans la traverser — sauf en un point d'inflexion, où elle la traverse.
Que faire si la fonction contient une racine ou un quotient ?
On dérive avec la formule correspondante, puis on évalue en a. Il faut vérifier au passage que a appartient bien au domaine de dérivabilité.
Une tangente peut-elle être verticale ?
Pas au sens d'une équation y = mx + p : une tangente verticale correspond à une dérivée qui n'existe pas, comme pour √(x) en 0.

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