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Méthode · Première spé maths

Utiliser la dérivée pour étudier les variations

Étudier les variations d'une fonction avec la dérivée suit un enchaînement invariable : on calcule f', on résout f'(x) = 0 pour trouver les valeurs où le signe peut basculer, on détermine le signe de f' sur chaque intervalle, puis on traduit en flèches dans un tableau de variations. La dernière étape est celle qu'on bâcle : le signe de f' ne se devine pas, il s'établit par un calcul ou par la règle du signe d'un trinôme.

Les étapes

  1. 1

    Calculer f'

    On dérive la fonction.
  2. 2

    Étudier le signe de f'

    On résout f'(x) = 0 et on détermine le signe.
  3. 3

    Conclure

    f' > 0 → croissante ; f' < 0 → décroissante.

Exemple corrigé

Étudier les variations de f(x) = x² - 4x + 1.

  1. 1.f'(x) = 2x - 4.
  2. 2.f'(x) > 0 ⇔ x > 2 ; f'(x) < 0 ⇔ x < 2.
  3. 3.f décroît sur ]-∞ ;2], croît sur [2 ;+∞[.
Résultat : Décroissante puis croissante, minimum en x = 2.

Deuxième exemple

Étudier les variations de f(x) = x³ - 3x + 1.

  1. 1.f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1).
  2. 2.f' s'annule en -1 et 1 ; c'est un trinôme de coefficient dominant positif, donc négatif entre les racines.
  3. 3.f croît sur ]-∞ ;-1], décroît sur [-1 ;1], puis croît sur [1 ;+∞[.
Résultat : Maximum local f(-1) = 3, minimum local f(1) = -1.

Piège à éviter

Bien résoudre f'(x) = 0 pour trouver où le sens change.

Questions fréquentes

Comment déterminer le signe de f' quand c'est un trinôme ?
On applique la règle du signe : celui de a à l'extérieur des racines, l'opposé entre elles. Aucun calcul point par point n'est nécessaire.
Faut-il calculer les images aux extremums ?
Oui, elles figurent dans le tableau de variations : ce sont les valeurs vers lesquelles pointent les flèches.
Que faire si f' ne s'annule pas ?
La fonction est monotone sur tout l'intervalle. On donne le signe de f' et on conclut d'une seule flèche.

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