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Méthode · Terminale spé maths

Utiliser la formule de Bayes

Pour inverser un conditionnement, on calcule le numérateur (un chemin) et le dénominateur (la probabilité totale), puis on divise.

Les étapes

  1. 1

    Identifier ce qu'on cherche

    On repère la conditionnelle voulue, par exemple P_B(A), et les données fournies (souvent P(A), P_A(B), P_A̅(B)).
  2. 2

    Calculer le numérateur

    C'est la probabilité du chemin correspondant : P(A ∩ B) = P(A) P_A(B).
  3. 3

    Calculer P(B) (probabilités totales)

    On additionne tous les chemins menant à B : P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B).
  4. 4

    Diviser

    On conclut avec P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B).

Exemple corrigé

Une maladie touche 1% de la population. Un test est positif (T) dans 99% des cas chez un malade (M), et dans 5% des cas chez un non-malade. Une personne a un test positif : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?

  1. 1.Données : P(M)=0,01, P_M(T)=0,99, P(M̅)=0,99, P_M̅(T)=0,05.
  2. 2.Numérateur : P(M ∩ T) = 0,01× 0,99 = 0,0099.
  3. 3.Dénominateur : P(T) = 0,01× 0,99 + 0,99× 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594.
  4. 4.P_T(M) = 0,0099/0,0594 = 1/6 ≈ 0,17.
Résultat : P_T(M) ≈ 0,17 : malgré un test positif, environ 17% seulement.

Piège à éviter

Le résultat surprend : un test très fiable donne une probabilité faible quand la maladie est rare, car les faux positifs sont nombreux en valeur absolue.

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