Développer avec les identités remarquables : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Plutôt que de tout multiplier, on reconnaît une identité remarquable pour obtenir la forme développée directement : le carré d'une somme, le carré d'une différence, ou le produit d'une somme par une différence.

La forme développée obtenue est ensuite réduite en regroupant les termes semblables.

Reconnaître une identité remarquable évite de poser les quatre produits : le développement s'écrit directement, en trois termes pour un carré et en deux pour un produit conjugué.

Encore faut-il identifier correctement $a$ a et $b$ b, y compris quand ils comportent un coefficient : dans $(3 x - 2)^{2}$ (3x-2)², on a $a = 3 x$ a = 3x, donc $a^{2} = 9 x^{2}$ a² = 9x².

Exemple

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

(x+3)²=x²+6x+9 ;

(x - 4) (x + 4) = x^{2} - 16

(x-4)(x+4)=x²-16.

Deuxième exemple

(5 x + 2) (5 x - 2) = (5 x)^{2} - 2^{2} = 25 x^{2} - 4

(5x+2)(5x-2) = (5x)² - 2² = 25x² - 4 : le produit conjugué fait disparaître le terme en

x

x, ce qui n'arrive avec aucune autre configuration.

Piège à éviter

Ne pas oublier le double produit :

(x + 3)^{2} \neq = x^{2} + 9

(x+3)²≠ x²+9.

Les autres formules de la forme développée

Développer un trinôme →

a (x - α)^{2} + β = a x^{2} + b x + c

a(x - α)² + β = a x² + bx + c

Questions fréquentes

Comment repérer qu'une identité s'applique ?

Un carré de parenthèse, ou deux parenthèses identiques au signe près. Sinon, on développe terme à terme.

Pourquoi le produit conjugué n'a-t-il que deux termes ?

Parce que les deux termes croisés s'annulent :

+ 2 \times 5 x

+2× 5x et

- 2 \times 5 x

-2× 5x se compensent, ne laissant que

a^{2} - b^{2}

a² - b².

L'identité fonctionne-t-elle avec des racines carrées ?

Oui, et c'est très utile :

(3 + 1) (3 - 1) = 3 - 1 = 2

(√(3)+1)(√(3)-1) = 3 - 1 = 2, ce qui sert à supprimer une racine au dénominateur.

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