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Exercices corrigés : Développer et factoriser — Seconde

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Développer et factoriser

Niveau: Seconde
Chapitre: Développer et factoriser
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Développer, c'est transformer un produit en somme (on enlève les parenthèses) ; factoriser, c'est l'inverse, transformer une somme en produit (on fait apparaître un facteur commun). Ces exercices corrigés couvrent la distributivité simple et double, le facteur commun, et les premières factorisations utiles pour résoudre des équations. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Distributivité simple

Application directe

Développer $3 (x + 4)$ 3(x+4) et $- 2 (x - 5)$ -2(x-5).

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Correction détaillée

1
$3 (x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3 x + 12$ 3(x+4)=3× x+3× 4=3x+12.
2
$- 2 (x - 5) = - 2 \times x + (- 2) \times (- 5) = - 2 x + 10$ -2(x-5)=-2× x+(-2)×(-5)=-2x+10.

Réponse :

3 x + 12

3x+12 ;

- 2 x + 10

-2x+10.

Rappel de cours : Distributivité : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb. Attention au signe quand $k$ k est négatif.

Erreur fréquente : $- 2 \times (- 5) = + 10$ -2×(-5)=+10 : le produit de deux négatifs est positif.

Exercice 2 — Développer et réduire

Application directe

Développer et réduire $2 (x + 3) + 4 (x - 1)$ 2(x+3)+4(x-1).

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Correction détaillée

1
$2 (x + 3) = 2 x + 6$ 2(x+3)=2x+6 et $4 (x - 1) = 4 x - 4$ 4(x-1)=4x-4.
2
Somme : $2 x + 6 + 4 x - 4 = 6 x + 2$ 2x+6+4x-4=6x+2.

Réponse :

6 x + 2

6x+2.

Rappel de cours : Réduire : on regroupe les termes en $x$ x ensemble et les constantes ensemble.

Exercice 3 — Facteur commun simple

Application directe

Factoriser $5 x + 10$ 5x+10 et $3 x^{2} - 6 x$ 3x²-6x.

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Correction détaillée

1
$5 x + 10 = 5 (x + 2)$ 5x+10=5(x+2) (facteur commun $5$ 5).
2
$3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ 3x²-6x=3x(x-2) (facteur commun $3 x$ 3x).

Réponse :

5 (x + 2)

5(x+2) ;

3 x (x - 2)

3x(x-2).

Rappel de cours : Factoriser : repérer un facteur commun à tous les termes et le mettre en facteur.

Exercice 4 — Double distributivité

À maîtriser

Développer $(x + 2) (x + 3)$ (x+2)(x+3).

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Correction détaillée

1
On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
2
$(x + 2) (x + 3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3 = x^{2} + 3 x + 2 x + 6$ (x+2)(x+3)=x× x+x× 3+2× x+2× 3=x²+3x+2x+6.
3
Réduction : $x^{2} + 5 x + 6$ x²+5x+6.

Réponse :

x^{2} + 5 x + 6

x²+5x+6.

Rappel de cours : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd : « chacun par chacun », puis on réduit.

Exercice 5 — Double distributivité avec signes

À maîtriser

Développer $(x - 4) (2 x + 1)$ (x-4)(2x+1).

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Correction détaillée

1
$(x - 4) (2 x + 1) = x \times 2 x + x \times 1 + (- 4) \times 2 x + (- 4) \times 1$ (x-4)(2x+1)=x× 2x+x× 1+(-4)× 2x+(-4)× 1.
2
$= 2 x^{2} + x - 8 x - 4 = 2 x^{2} - 7 x - 4$ =2x²+x-8x-4=2x²-7x-4.

Réponse :

2 x^{2} - 7 x - 4

2x²-7x-4.

Rappel de cours : Bien gérer les signes : $(- 4) \times 2 x = - 8 x$ (-4)× 2x=-8x, $(- 4) \times 1 = - 4$ (-4)× 1=-4.

Exercice 6 — Facteur commun (parenthèse)

À maîtriser

Factoriser $(x + 1) (x + 2) + (x + 1) (x - 3)$ (x+1)(x+2)+(x+1)(x-3).

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Correction détaillée

1
Le facteur commun est $(x + 1)$ (x+1).
2
$(x + 1) [(x + 2) + (x - 3)] = (x + 1) (2 x - 1)$ (x+1)[(x+2)+(x-3)]=(x+1)(2x-1).

Réponse :

(x + 1) (2 x - 1)

(x+1)(2x-1).

Rappel de cours : Le facteur commun peut être une parenthèse entière : on le met en facteur et on regroupe le reste.

Exercice 7 — Développer un carré

Type contrôle

Développer $(x + 3)^{2}$ (x+3)² avec la double distributivité.

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Correction détaillée

1
$(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$ (x+3)²=(x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9.
2
$= x^{2} + 6 x + 9$ =x²+6x+9.

Réponse :

x^{2} + 6 x + 9

x²+6x+9.

Rappel de cours : $(x + 3)^{2}$ (x+3)² signifie $(x + 3) (x + 3)$ (x+3)(x+3) : ce n'est PAS $x^{2} + 9$ x²+9.

Erreur fréquente : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ (a+b)²≠ a²+b² : il y a le terme du milieu $2 ab$ 2ab.

Exercice 8 — Factoriser avec une puissance

Type contrôle

Factoriser $x^{3} + x^{2}$ x³+x² et $4 x^{2} + 8 x$ 4x²+8x.

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Correction détaillée

1
$x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)$ x³+x²=x²(x+1) (facteur commun $x^{2}$ x²).
2
$4 x^{2} + 8 x = 4 x (x + 2)$ 4x²+8x=4x(x+2) (facteur commun $4 x$ 4x).

Réponse :

x^{2} (x + 1)

x²(x+1) ;

4 x (x + 2)

4x(x+2).

Rappel de cours : Le facteur commun prend la plus grande puissance de $x$ x commune et le PGCD des coefficients.

Exercice 9 — Développer puis réduire (deux produits)

Type contrôle

Développer et réduire $(x + 1) (x + 2) - (x - 1) (x + 3)$ (x+1)(x+2)-(x-1)(x+3).

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Correction détaillée

1
$(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ (x+1)(x+2)=x²+3x+2.
2
$(x - 1) (x + 3) = x^{2} + 2 x - 3$ (x-1)(x+3)=x²+2x-3.
3
Différence : $(x^{2} + 3 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 3) = x^{2} + 3 x + 2 - x^{2} - 2 x + 3 = x + 5$ (x²+3x+2)-(x²+2x-3)=x²+3x+2-x²-2x+3=x+5.

Réponse :

x + 5

x+5.

Rappel de cours : Attention au signe $-$ - devant la seconde parenthèse : il change tous les signes à l'intérieur.

Erreur fréquente : $- (x^{2} + 2 x - 3) = - x^{2} - 2 x + 3$ -(x²+2x-3)=-x²-2x+3 : distribuer le $-$ - à chaque terme.

Exercice 10 — Factoriser pour résoudre

Type contrôle

Factoriser $x^{2} - 5 x$ x²-5x, puis résoudre $x^{2} - 5 x = 0$ x²-5x=0.

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Correction détaillée

1
$x^{2} - 5 x = x (x - 5)$ x²-5x=x(x-5).
2
$x (x - 5) = 0$ x(x-5)=0 : un produit nul, donc $x = 0$ x=0 ou $x - 5 = 0$ x-5=0, soit $x = 0$ x=0 ou $x = 5$ x=5.

Réponse : Factorisation

x (x - 5)

x(x-5) ; solutions

0

0 et

5

Rappel de cours : Factoriser transforme une équation en équation produit, résoluble par « un produit nul ».

Exercice 11 — Factorisation par regroupement

Approfondissement / défi

Factoriser $x^{2} + 3 x + 2 x + 6$ x²+3x+2x+6 (regroupement), puis vérifier en développant.

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Correction détaillée

1
On regroupe : $(x^{2} + 3 x) + (2 x + 6) = x (x + 3) + 2 (x + 3)$ (x²+3x)+(2x+6)=x(x+3)+2(x+3).
2
Facteur commun $(x + 3)$ (x+3) : $(x + 3) (x + 2)$ (x+3)(x+2).
3
Vérification : $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$ (x+3)(x+2)=x²+2x+3x+6=x²+5x+6. ✓

Réponse :

(x + 3) (x + 2)

(x+3)(x+2).

Rappel de cours : Factorisation par regroupement : on forme des paires ayant un facteur commun, puis on met en facteur la parenthèse commune.

Exercice 12 — Expression à factoriser entièrement

Approfondissement / défi

Factoriser $2 x (x - 1) + 3 (x - 1)^{2}$ 2x(x-1)+3(x-1)².

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Correction détaillée

1
Facteur commun $(x - 1)$ (x-1) : $(x - 1) [2 x + 3 (x - 1)]$ (x-1)[2x+3(x-1)].
2
On développe le crochet : $2 x + 3 x - 3 = 5 x - 3$ 2x+3x-3=5x-3.
3
$(x - 1) (5 x - 3)$ (x-1)(5x-3).

Réponse :

(x - 1) (5 x - 3)

(x-1)(5x-3).

Rappel de cours : On met $(x - 1)$ (x-1) en facteur (présent dans $(x - 1)^{2} = (x - 1) (x - 1)$ (x-1)²=(x-1)(x-1)), puis on simplifie le crochet.

Exercice 13 — Aire et factorisation

Approfondissement / défi

L'aire d'une figure est $A (x) = x^{2} + 5 x + x \times 3$ A(x)=x²+5x+x× 3. 1) Réduire $A (x)$ A(x). 2) Factoriser $A (x)$ A(x).

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Correction détaillée

1
Réduction : $A (x) = x^{2} + 5 x + 3 x = x^{2} + 8 x$ A(x)=x²+5x+3x=x²+8x.
2
Factorisation : $A (x) = x (x + 8)$ A(x)=x(x+8) (facteur commun $x$ x).

Réponse :

A (x) = x^{2} + 8 x = x (x + 8)

A(x)=x²+8x=x(x+8).

Rappel de cours : On réduit d'abord, puis on factorise : la forme factorisée facilite l'étude (valeurs où l'aire est nulle, etc.).

Exercice 14 — Développer un produit de trois facteurs

Approfondissement / défi

Développer $x (x + 1) (x - 2)$ x(x+1)(x-2).

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Correction détaillée

1
On développe d'abord deux facteurs : $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - 2 x + x - 2 = x^{2} - x - 2$ (x+1)(x-2)=x²-2x+x-2=x²-x-2.
2
Puis on multiplie par $x$ x : $x (x^{2} - x - 2) = x^{3} - x^{2} - 2 x$ x(x²-x-2)=x³-x²-2x.

Réponse :

x^{3} - x^{2} - 2 x

x³-x²-2x.

Rappel de cours : Avec trois facteurs : on développe deux d'entre eux, puis on multiplie le résultat par le troisième.

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Développer, factoriser, résoudre équations et inéquations, et maîtriser les racines carrées et les intervalles.

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