Exercices corrigés : Développer et factoriser — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $3(x+4)=3\times x+3\times 4=3x+12$3(x+4)=3× x+3× 4=3x+12.

2. 2

   $-2(x-5)=-2\times x+(-2)\times (-5)=-2x+10$-2(x-5)=-2× x+(-2)×(-5)=-2x+10.

Rappel de cours : Distributivité : $k(a+b)=ka+kb$k(a+b)=ka+kb. Attention au signe quand $k$k est négatif.

Erreur fréquente : $-2\times (-5)=+10$-2×(-5)=+10 : le produit de deux négatifs est positif.

Correction détaillée

1. 1

   $2(x+3)=2x+6$2(x+3)=2x+6 et $4(x-1)=4x-4$4(x-1)=4x-4.

2. 2

   Somme : $2x+6+4x-4=6x+2$2x+6+4x-4=6x+2.

Rappel de cours : Réduire : on regroupe les termes en $x$x ensemble et les constantes ensemble.

Correction détaillée

1. 1

   $5x+10=5(x+2)$5x+10=5(x+2) (facteur commun $5$5).

2. 2

   $3x^2-6x=3x(x-2)$3x²-6x=3x(x-2) (facteur commun $3x$3x).

Rappel de cours : Factoriser : repérer un facteur commun à tous les termes et le mettre en facteur.

Correction détaillée

1. 1

   $5(2x-1)=10x-5$5(2x-1)=10x-5.

2. 2

   $-3(x+4)=-3x-12$-3(x+4)=-3x-12 : le $-3$-3 multiplie les deux termes de la parenthèse.

3. 3

   On réduit : $10x-3x-5-12=7x-17$10x-3x-5-12=7x-17.

Rappel de cours : Développer et réduire : on supprime les parenthèses, puis on regroupe les termes en $x$x et les constantes.

Erreur fréquente : Écrire $-3x+12$-3x+12 : le signe $-$- s'applique aussi au $4$4.

Correction détaillée

1. 1

   $12$12 et $18$18 sont tous deux multiples de $6$6 : $12x-18=6\times 2x-6\times 3=6(2x-3)$12x-18=6× 2x-6× 3=6(2x-3).

2. 2

   $7x^2$7x² et $14x$14x ont en commun $7$7 et $x$x : $7x^2+14x=7x\times x+7x\times 2=7x(x+2)$7x²+14x=7x× x+7x× 2=7x(x+2).

Rappel de cours : On met en facteur le plus grand diviseur commun des coefficients, multiplié par la plus grande puissance de $x$x commune.

Erreur fréquente : S'arrêter à $2(6x-9)$2(6x-9) : la parenthèse contient encore le facteur $3$3, la factorisation n'est pas complète.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.

2. 2

   $(x+2)(x+3)=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3=x^2+3x+2x+6$(x+2)(x+3)=x× x+x× 3+2× x+2× 3=x²+3x+2x+6.

3. 3

   Réduction : $x^2+5x+6$x²+5x+6.

Rappel de cours : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd : « chacun par chacun », puis on réduit.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-4)(2x+1)=x\times 2x+x\times 1+(-4)\times 2x+(-4)\times 1$(x-4)(2x+1)=x× 2x+x× 1+(-4)× 2x+(-4)× 1.

2. 2

   $=2x^2+x-8x-4=2x^2-7x-4$=2x²+x-8x-4=2x²-7x-4.

Rappel de cours : Bien gérer les signes : $(-4)\times 2x=-8x$(-4)× 2x=-8x, $(-4)\times 1=-4$(-4)× 1=-4.

Correction détaillée

1. 1

   Le facteur commun est $(x+1)$(x+1).

2. 2

   $(x+1)[(x+2)+(x-3)]=(x+1)(2x-1)$(x+1)[(x+2)+(x-3)]=(x+1)(2x-1).

Rappel de cours : Le facteur commun peut être une parenthèse entière : on le met en facteur et on regroupe le reste.

Correction détaillée

1. 1

   Chacun par chacun : $(-x)\times 2x+(-x)\times (-5)+3\times 2x+3\times (-5)$(-x)× 2x+(-x)×(-5)+3× 2x+3×(-5).

2. 2

   $=-2x^2+5x+6x-15$=-2x²+5x+6x-15.

3. 3

   $=-2x^2+11x-15$=-2x²+11x-15.

Rappel de cours : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, en gardant le signe de chaque terme.

Erreur fréquente : $(-x)\times (-5)=+5x$(-x)×(-5)=+5x : moins par moins donne plus.

Correction détaillée

1. 1

   $3x(x-2)=3x^2-6x$3x(x-2)=3x²-6x.

2. 2

   $(x-1)(x+5)=x^2+5x-x-5=x^2+4x-5$(x-1)(x+5)=x²+5x-x-5=x²+4x-5.

3. 3

   On soustrait le second produit entier : $3x^2-6x-(x^2+4x-5)=3x^2-6x-x^2-4x+5$3x²-6x-(x²+4x-5)=3x²-6x-x²-4x+5.

4. 4

   $=2x^2-10x+5$=2x²-10x+5.

Rappel de cours : Développer le produit entre parenthèses AVANT de distribuer le signe $-$- qui le précède.

Erreur fréquente : Écrire $-x^2+4x-5$-x²+4x-5 : le $-$- change le signe de tous les termes, donc $-x^2-4x+5$-x²-4x+5.

Correction détaillée

1. 1

   $(x+3{)}^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9$(x+3)²=(x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9.

2. 2

   $=x^2+6x+9$=x²+6x+9.

Rappel de cours : $(x+3{)}^2$(x+3)² signifie $(x+3)(x+3)$(x+3)(x+3) : ce n'est PAS $x^2+9$x²+9.

Erreur fréquente : $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$(a+b)²≠ a²+b² : il y a le terme du milieu $2ab$2ab.

Correction détaillée

1. 1

   $x^3+x^2=x^2(x+1)$x³+x²=x²(x+1) (facteur commun $x^2$x²).

2. 2

   $4x^2+8x=4x(x+2)$4x²+8x=4x(x+2) (facteur commun $4x$4x).

Rappel de cours : Le facteur commun prend la plus grande puissance de $x$x commune et le PGCD des coefficients.

Correction détaillée

1. 1

   $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$(x+1)(x+2)=x²+3x+2.

2. 2

   $(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$(x-1)(x+3)=x²+2x-3.

3. 3

   Différence : $(x^2+3x+2)-(x^2+2x-3)=x^2+3x+2-x^2-2x+3=x+5$(x²+3x+2)-(x²+2x-3)=x²+3x+2-x²-2x+3=x+5.

Rappel de cours : Attention au signe $-$- devant la seconde parenthèse : il change tous les signes à l'intérieur.

Erreur fréquente : $-(x^2+2x-3)=-x^2-2x+3$-(x²+2x-3)=-x²-2x+3 : distribuer le $-$- à chaque terme.

Correction détaillée

1. 1

   $(2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12$(2x-3)(x+4)=2x²+8x-3x-12=2x²+5x-12.

2. 2

   $(x-1{)}^2=(x-1)(x-1)=x^2-2x+1$(x-1)²=(x-1)(x-1)=x²-2x+1, donc $2(x-1{)}^2=2x^2-4x+2$2(x-1)²=2x²-4x+2.

3. 3

   $E=2x^2+5x-12-(2x^2-4x+2)=2x^2+5x-12-2x^2+4x-2=9x-14$E=2x²+5x-12-(2x²-4x+2)=2x²+5x-12-2x²+4x-2=9x-14.

4. 4

   Vérification pour $x=0$x=0 : l'expression de départ vaut $(-3)\times 4-2\times 1=-14$(-3)× 4-2× 1=-14, et $9\times 0-14=-14$9× 0-14=-14. ✓

Rappel de cours : Remplacer $x$x par une valeur simple dans les deux expressions permet de détecter une erreur de calcul.

Erreur fréquente : Développer $2(x-1{)}^2$2(x-1)² en $(2x-2{)}^2$(2x-2)² : le $2$2 multiplie le carré, il n'entre pas dedans.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-5x=x(x-5)$x²-5x=x(x-5).

2. 2

   $x(x-5)=0$x(x-5)=0 : un produit nul, donc $x=0$x=0 ou $x-5=0$x-5=0, soit $x=0$x=0 ou $x=5$x=5.

Rappel de cours : Factoriser transforme une équation en équation produit, résoluble par « un produit nul ».

Correction détaillée

1. 1

   $2-x=-(x-2)$2-x=-(x-2) : les deux termes contiennent donc le facteur $(x-2)$(x-2).

2. 2

   $-(2-x)(x+4)=+(x-2)(x+4)$-(2-x)(x+4)=+(x-2)(x+4), donc l'expression vaut $(x-2)(3x+1)+(x-2)(x+4)$(x-2)(3x+1)+(x-2)(x+4).

3. 3

   $(x-2)[(3x+1)+(x+4)]=(x-2)(4x+5)$(x-2)[(3x+1)+(x+4)]=(x-2)(4x+5).

Rappel de cours : $b-a=-(a-b)$b-a=-(a-b) : on change le signe pour faire apparaître le facteur commun.

Erreur fréquente : Oublier de changer le signe $-$- en $+$+ en remplaçant $(2-x)$(2-x) par $-(x-2)$-(x-2).

Correction détaillée

1. 1

   $(2x+1{)}^2=(2x+1)(2x+1)$(2x+1)²=(2x+1)(2x+1) : le facteur commun est $(2x+1)$(2x+1).

2. 2

   $(2x+1)[(2x+1)+(x-3)]$(2x+1)[(2x+1)+(x-3)].

3. 3

   On réduit le crochet : $2x+1+x-3=3x-2$2x+1+x-3=3x-2, d'où $(2x+1)(3x-2)$(2x+1)(3x-2).

Rappel de cours : Un carré $A^2$A² contient le facteur $A$A : on en « sort » un exemplaire, l'autre reste dans le crochet.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe : $(x^2+3x)+(2x+6)=x(x+3)+2(x+3)$(x²+3x)+(2x+6)=x(x+3)+2(x+3).

2. 2

   Facteur commun $(x+3)$(x+3) : $(x+3)(x+2)$(x+3)(x+2).

3. 3

   Vérification : $(x+3)(x+2)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$(x+3)(x+2)=x²+2x+3x+6=x²+5x+6. ✓

Rappel de cours : Factorisation par regroupement : on forme des paires ayant un facteur commun, puis on met en facteur la parenthèse commune.

Correction détaillée

1. 1

   Facteur commun $(x-1)$(x-1) : $(x-1)[2x+3(x-1)]$(x-1)[2x+3(x-1)].

2. 2

   On développe le crochet : $2x+3x-3=5x-3$2x+3x-3=5x-3.

3. 3

   $(x-1)(5x-3)$(x-1)(5x-3).

Rappel de cours : On met $(x-1)$(x-1) en facteur (présent dans $(x-1{)}^2=(x-1)(x-1)$(x-1)²=(x-1)(x-1)), puis on simplifie le crochet.

Correction détaillée

1. 1

   Réduction : $A(x)=x^2+5x+3x=x^2+8x$A(x)=x²+5x+3x=x²+8x.

2. 2

   Factorisation : $A(x)=x(x+8)$A(x)=x(x+8) (facteur commun $x$x).

Rappel de cours : On réduit d'abord, puis on factorise : la forme factorisée facilite l'étude (valeurs où l'aire est nulle, etc.).

Correction détaillée

1. 1

   On développe d'abord deux facteurs : $(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$(x+1)(x-2)=x²-2x+x-2=x²-x-2.

2. 2

   Puis on multiplie par $x$x : $x(x^2-x-2)=x^3-x^2-2x$x(x²-x-2)=x³-x²-2x.

Rappel de cours : Avec trois facteurs : on développe deux d'entre eux, puis on multiplie le résultat par le troisième.

Correction détaillée

1. 1

   Aucune parenthèse commune à première vue, mais $3x-6=3(x-2)$3x-6=3(x-2).

2. 2

   L'expression devient $3(x-2)(x+1)+(x-2)(2x-5)$3(x-2)(x+1)+(x-2)(2x-5) : le facteur commun est $(x-2)$(x-2).

3. 3

   $(x-2)[3(x+1)+(2x-5)]=(x-2)(3x+3+2x-5)=(x-2)(5x-2)$(x-2)[3(x+1)+(2x-5)]=(x-2)(3x+3+2x-5)=(x-2)(5x-2).

4. 4

   Vérification pour $x=0$x=0 : $(-6)\times 1+(-2)\times (-5)=4$(-6)× 1+(-2)×(-5)=4 et $(-2)\times (-2)=4$(-2)×(-2)=4. ✓

Rappel de cours : Quand le facteur commun ne se voit pas, on factorise d'abord l'intérieur d'une parenthèse.

Erreur fréquente : Oublier le coefficient $3$3 dans le crochet : écrire $(x+1)$(x+1) au lieu de $3(x+1)$3(x+1).

Correction détaillée

1. 1

   Facteur commun $(x+3)$(x+3) : $(x+3)[(x+3)-(2x-1)]$(x+3)[(x+3)-(2x-1)].

2. 2

   Dans le crochet, le $-$- change les deux signes : $x+3-2x+1=-x+4$x+3-2x+1=-x+4.

3. 3

   $(x+3)(-x+4)$(x+3)(-x+4).

4. 4

   Vérification pour $x=0$x=0 : $9-3\times (-1)=12$9-3×(-1)=12 et $3\times 4=12$3× 4=12. ✓

Rappel de cours : Mettre la seconde parenthèse entre crochets avec son signe $-$-, puis réduire.

Erreur fréquente : Écrire $x+3-2x-1$x+3-2x-1 : on oublie que $-(-1)=+1$-(-1)=+1.

Correction détaillée

1. 1

   On factorise par $(2x-1)$(2x-1) : $(2x-1)[(x+3)-(4x-5)]=(2x-1)(x+3-4x+5)=(2x-1)(-3x+8)$(2x-1)[(x+3)-(4x-5)]=(2x-1)(x+3-4x+5)=(2x-1)(-3x+8).

2. 2

   L'équation devient $(2x-1)(-3x+8)=0$(2x-1)(-3x+8)=0.

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

3. 3

   $2x-1=0$2x-1=0 donne $x=\frac{1}{2}$x=1/2 ; $-3x+8=0$-3x+8=0 donne $x=\frac{8}{3}$x=8/3.

Rappel de cours : Pour résoudre « expression $=0$=0 » de degré 2, on factorise puis on applique la règle du produit nul.

Erreur fréquente : Développer l'expression : on obtient $-6x^2+19x-8=0$-6x²+19x-8=0, qu'on ne sait pas résoudre directement en Seconde sans factoriser.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$x²-9=x²-3²=(x-3)(x+3) (identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a²-b²=(a-b)(a+b)).

2. 2

   L'expression devient $(x-3)(x+3)+(x-3)(2x+1)$(x-3)(x+3)+(x-3)(2x+1) : facteur commun $(x-3)$(x-3).

3. 3

   $(x-3)[(x+3)+(2x+1)]=(x-3)(3x+4)$(x-3)[(x+3)+(2x+1)]=(x-3)(3x+4).

4. 4

   Vérification pour $x=0$x=0 : $-9+(-3)\times 1=-12$-9+(-3)× 1=-12 et $(-3)\times 4=-12$(-3)× 4=-12. ✓

Rappel de cours : Une différence de deux carrés se factorise toujours : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a²-b²=(a-b)(a+b). Elle peut révéler un facteur commun caché.

Erreur fréquente : Écrire $x^2-9=(x-3{)}^2$x²-9=(x-3)² : $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$(x-3)²=x²-6x+9, ce n'est pas la même expression.