Notion

Factoriser une expression

Factoriser une expression littérale, c'est l'écrire sous forme de produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement, et un réflexe indispensable pour résoudre une équation avec la règle du produit nul ou pour étudier un signe. Trois techniques se combinent : mettre en évidence un facteur commun, $k a + k b = k (a + b)$ ka+kb=k(a+b) ; reconnaître une identité remarquable, comme $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ a²-b²=(a-b)(a+b) ; ou repérer un facteur commun « caché » qui n'apparaît qu'après transformation d'un terme. Factoriser un trinôme du second degré passe souvent par ses racines. Une expression est complètement factorisée quand aucun facteur ne peut plus être décomposé : c'est cette forme qui rend les calculs de signe et de solutions immédiats.

Définitions

Factoriser: C'est transformer une somme en produit : $k a + k b = k (a + b)$ ka + kb = k(a+b), où $k$ k est un facteur commun.
Facteur commun: C'est un terme (nombre, lettre ou parenthèse) présent dans chaque partie de la somme. On le met « en facteur » : $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ 6x²+9x=3x(2x+3).

Formules

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Facteur commun et identités →

k a + k b = k (a + b) a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

ka + kb = k(a+b) a² - b² = (a-b)(a+b)Mettre en facteur, ou reconnaître une identité.

Méthodes

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Factoriser une expression →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Facteur commun

Niveau 1 · Application directe

Factoriser

3 x + 6

3x + 6.

Voir la correction

1.
Facteur commun $3$ 3.
→ Facteur commun et identités
2.
$3 x + 6 = 3 (x + 2)$ 3x + 6 = 3(x + 2).

Réponse :

3 (x + 2)

3(x + 2).

Méthode utilisée : On met en facteur le terme commun.

Différence de carrés

Niveau 2 · Méthode complète

Factoriser

x^{2} - 9

x² - 9.

Voir la correction

1.
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ a² - b² = (a-b)(a+b) avec $a = x$ a = x, $b = 3$ b = 3.
→ Facteur commun et identités
2.
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ x² - 9 = (x-3)(x+3).

Réponse :

(x - 3) (x + 3)

(x-3)(x+3).

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Questions fréquentes

Ça veut dire quoi factoriser ?

C'est transformer une somme en produit, en mettant en évidence un facteur commun. 3x + 6 = 3(x + 2). C'est l'inverse de développer.

Comment trouver le facteur commun ?

On cherche ce qui apparaît dans tous les termes. Dans 2x² + 4x, le facteur commun est 2x, présent dans les deux termes.

Quand utilise-t-on les identités remarquables ?

Quand il n'y a pas de facteur commun mais qu'on reconnaît une forme, surtout la différence de carrés a² − b² = (a−b)(a+b). Exemple : x² − 9 = (x−3)(x+3).

Comment factoriser avec un facteur commun ?

On repère le facteur présent dans tous les termes et on le met devant : ka + kb = k(a + b). Par exemple 6x + 9 = 3(2x + 3).

Comment factoriser x² − a² ?

Avec l'identité remarquable a² − b² = (a − b)(a + b). Par exemple x² − 16 = (x − 4)(x + 4).

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