Notion

Racines carrées et quotients

La racine carrée d'un quotient est égale au quotient des racines carrées : pour $a \geq 0$ a≥ 0 et $b > 0$ b>0, $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ √(a/b)=√(a)/√(b). Cette propriété, symétrique de la règle sur les produits, permet de simplifier une fraction contenant des racines, de la calculer sans calculatrice ou de la rendre plus lisible. On l'utilise souvent avec l'extraction des carrés parfaits, par exemple $\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$ √(9/25)=3/5 ou $\frac{50}{2} = 25 = 5$ √(50)/√(2)=√(25)=5. Attention : la règle n'est valable que pour des nombres positifs, et le dénominateur doit être non nul. Pour une écriture finale « propre », on pense aussi à rendre le dénominateur rationnel.

Définitions

Quotient de racines: Pour $a \geq 0$ a ≥ 0 et $b > 0$ b > 0, $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ √(a)/√(b) = √(a/b). On peut diviser sous une même racine.
Dénominateur rationnel: On dit qu'une fraction a un dénominateur rationnel quand il n'y a plus de racine au dénominateur. On multiplie alors haut et bas par $b$ √(b) : $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ 1/√(2)=√(2)/2.

Formules

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Quotient de racines carrées →

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a \geq 0, b > 0)

√(a)/√(b) = √(a/b) (a ≥ 0, b > 0)Le quotient des racines est la racine du quotient.

Méthodes

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Calculer un quotient de racines carrées →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Quotient entier

Niveau 1 · Application directe

Calculer

\frac{18}{2}

√(18)/√(2).

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1.
$\frac{18}{2} = 9$ √(18)/√(2) = √(9).
→ Quotient de racines carrées
2.
$= 3$ = 3.

Réponse :

3

Méthode utilisée : $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ( √a )/( √b )=√(a/b).

Erreur fréquente : Soustraire sous la racine.

Autre quotient entier

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

\frac{50}{2}

√(50)/√(2).

Voir la correction

1.
$\frac{50}{2} = 25$ √(50)/√(2) = √(25).
→ Quotient de racines carrées
2.
$= 5$ = 5.

Réponse :

5

Méthode utilisée : $\frac{50}{2} = 25$ √(50)/√2=√(25).

Erreur fréquente : Diviser après la racine sans voir le carré parfait.

Faire les 10 exercices types sur racines carrées et quotients8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment diviser deux racines carrées ?

On divise les nombres sous une seule racine : √a / √b = √(a/b). Par exemple √18 / √2 = √9 = 3.

Le résultat est-il toujours un entier ?

Non, seulement si le quotient sous la racine est un carré parfait. Sinon, on simplifie (√24/√2 = √12 = 2√3).

Quelle condition sur le dénominateur ?

Le dénominateur doit être strictement positif : on ne divise jamais par 0, et la racine n'existe que pour des nombres positifs.

Quelle est la règle √a / √b ?

Pour a ≥ 0 et b > 0, √a / √b = √(a/b). Par exemple √18 / √2 = √9 = 3.

Comment enlever une racine au dénominateur ?

On multiplie numérateur et dénominateur par cette racine. Par exemple 1/√2 = √2/2.

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