Exercices corrigés : Fonction carré — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f(3)=3^2=9$f(3)=3²=9.

2. 2

   $f(-3)=(-3{)}^2=9$f(-3)=(-3)²=9.

3. 3

   $f(0,5)=0,5^2=0,25$f(0,5)=0,5²=0,25.

Rappel de cours : $f(x)=x^2$f(x)=x². Deux nombres opposés ont la même image : $f(-3)=f(3)$f(-3)=f(3).

Correction détaillée

1. 1

   Sur $]-\infty ;0]$]-∞;0], la fonction carré est décroissante.

2. 2

   Sur $[0;+\infty [$[0;+∞[, elle est croissante.

3. 3

   Elle admet un minimum $0$0 en $x=0$x=0.

Rappel de cours : La parabole $y=x^2$y=x² « descend » puis « monte » : minimum au sommet $(0;0)$(0;0).

Correction détaillée

1. 1

   Un point $(x;y)$(x ;y) est sur la parabole si et seulement si $y=x^2$y=x².

2. 2

   $A$A : $(-3{)}^2=9$(-3)²=9, oui.

   $B$B : $1,5^2=2,25\ne 2,5$1,5²=2,25≠ 2,5, non.

   $C$C : $(\sqrt{2}{)}^2=2$(sqrt2)²=2, oui.

Rappel de cours : Courbe de la fonction carré : $y=x^2$y=x².

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f(2)$f(2) : on monte de $x=2$x=2 jusqu'à la courbe, on lit $f(2)=4$f(2)=4.

2. 2

   Les antécédents de $4$4 sont les abscisses où la courbe est à hauteur $4$4 : $x=-2$x=-2 et $x=2$x=2.

Rappel de cours : La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : une même hauteur correspond à deux abscisses opposées.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $[0;+\infty [$[0;+∞[, $f$f est croissante : $2<2,5$2<2,5 donne $f(2)<f(2,5)$f(2)<f(2,5).

2. 2

   Sur $]-\infty ;0]$]-∞;0], $f$f est décroissante : $-4<-2$-4<-2 donne $f(-4)>f(-2)$f(-4)>f(-2).

Rappel de cours : On utilise le sens de variation : sur les négatifs, plus $x$x est petit, plus son carré est grand.

Erreur fréquente : Sur les négatifs, l'ordre s'inverse : $-4<-2$-4<-2 mais $f(-4)=16>f(-2)=4$f(-4)=16>f(-2)=4.

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1. 1

   $x^2=25⟺x=\pm 5$x²=25 ⇔ x=± 5.

2. 2

   $x^2=7⟺x=\pm \sqrt{7}$x²=7 ⇔ x=± √7.

Rappel de cours : $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) a deux solutions $\pm \sqrt{k}$± √k.

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1. 1

   Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2\ge 0$x²≥ 0 pour tout $x$x.

2. 2

   $x^2=-4$x²=-4 est impossible : pas de solution réelle.

Rappel de cours : $x^2\ge 0$x²≥ 0 toujours : une équation $x^2=k$x²=k avec $k<0$k<0 n'a pas de solution.

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1. 1

   $f(7)=49$f(7)=49 et $f(-7)=49$f(-7)=49.

2. 2

   Pour tout réel $x$x : $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$f(-x)=(-x)²=x²=f(x) : deux nombres opposés ont la même image.

3. 3

   Les points $(x;x^2)$(x ;x²) et $(-x;x^2)$(-x ;x²) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : la parabole admet cet axe comme axe de symétrie.

Rappel de cours : $(-x{)}^2=x^2$(-x)²=x² : les points $(x;x^2)$(x ;x²) et $(-x;x^2)$(-x ;x²) sont symétriques par rapport à $(Oy)$(Oy).

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1. 1

   $x^2\le 9$x²≤ 9 signifie que $x$x est « entre » $-3$-3 et $3$3 (la parabole est sous la hauteur $9$9 entre ces valeurs).

2. 2

   $x^2\le 9⟺-3\le x\le 3$x²≤ 9 ⇔ -3≤ x≤ 3.

Rappel de cours : $x^2\le k$x²≤ k ($k>0$k>0) $⟺-\sqrt{k}\le x\le \sqrt{k}$⇔ - √k ≤ x≤ √k.

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1. 1

   $x^2>16$x²>16 correspond aux $x$x « à l'extérieur » de $[-4;4]$[-4;4].

2. 2

   $x^2>16⟺x<-4$x²>16 ⇔ x<-4 ou $x>4$x>4.

Rappel de cours : $x^2>k$x²>k ($k>0$k>0) $⟺x<-\sqrt{k}$⇔ x<- √k ou $x>\sqrt{k}$x> √k (à l'extérieur des racines).

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1. 1

   Sur $[1;3]$[1;3], la fonction carré est croissante : elle conserve l'ordre.

2. 2

   $1\le x\le 3\Rightarrow 1^2\le x^2\le 3^2$1≤ x≤ 3 ⇒ 1²≤ x²≤ 3², soit $1\le x^2\le 9$1≤ x²≤ 9.

Rappel de cours : Sur un intervalle où $f$f est croissante, $a\le x\le b\Rightarrow f(a)\le f(x)\le f(b)$a≤ x≤ b ⇒ f(a)≤ f(x)≤ f(b).

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1. 1

   Sur $[-3;-1]$[-3;-1] (négatifs), la fonction carré est décroissante : elle inverse l'ordre.

2. 2

   $-3\le x\le -1\Rightarrow (-1{)}^2\le x^2\le (-3{)}^2$-3≤ x≤ -1 ⇒ (-1)²≤ x²≤ (-3)², soit $1\le x^2\le 9$1≤ x²≤ 9.

Rappel de cours : Sur les négatifs, $f$f décroît : les bornes « s'échangent » ($x=-1$x=-1 donne la plus petite image).

Erreur fréquente : Ne pas écrire $9\le x^2\le 1$9≤ x²≤ 1 : on remet toujours la plus petite valeur à gauche.

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1. 1

   La fonction carré n'est pas monotone sur $[-2;3]$[-2 ;3] : décroissante sur $[-2;0]$[-2 ;0], croissante sur $[0;3]$[0 ;3].

   On traite les deux morceaux.

2. 2

   Sur $[-2;0]$[-2 ;0] : $x^2$x² va de $4$4 à $0$0, donc $0\le x^2\le 4$0≤ x²≤ 4.

3. 3

   Sur $[0;3]$[0 ;3] : $x^2$x² va de $0$0 à $9$9, donc $0\le x^2\le 9$0≤ x²≤ 9.

4. 4

   En réunissant : $0\le x^2\le 9$0≤ x²≤ 9.

   Le minimum $0$0 est atteint en $x=0$x=0.

Rappel de cours : Pour encadrer une image, on utilise les variations sur chaque intervalle où la fonction est monotone.

Erreur fréquente : Élever les bornes au carré donne $4\le x^2\le 9$4≤ x²≤ 9, qui est faux : pour $x=0$x=0, $x^2=0$x²=0.

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1. 1

   $(x-1{)}^2=9⟺x-1=3$(x-1)²=9⇔ x-1=3 ou $x-1=-3⟺x=4$x-1=-3⇔ x=4 ou $x=-2$x=-2.

2. 2

   $X^2<25⟺-5<X<5$X²<25⇔ -5<X<5 (les nombres dont le carré est inférieur à $25$25 sont entre $-5$-5 et $5$5).

3. 3

   Avec $X=2x+1$X=2x+1 : $-5<2x+1<5⟺-6<2x<4⟺-3<x<2$-5<2x+1<5⇔ -6<2x<4⇔ -3<x<2.

Rappel de cours : $X^2<k$X²<k (avec $k>0$k>0) $⟺-\sqrt{k}<X<\sqrt{k}$⇔ - √k <X< √k.

Erreur fréquente : $X^2<25$X²<25 ne donne pas « $X<5$X<5 » seulement : $X=-6$X=-6 vérifie $X<5$X<5 mais $X^2=36$X²=36.

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1. 1

   Si $c$c est le côté, l'aire est $c^2=50$c²=50, avec $c>0$c>0.

2. 2

   $c=\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\approx 7,07$c=√(50)=√(25× 2)=5 √2 ≈ 7,07 cm.

Rappel de cours : On garde la solution positive (une longueur). $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$√(50)=5sqrt2 en simplifiant la racine.

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $(\sqrt{2}+1{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}+1=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$( √2 +1)²=( √2 )²+2 √2 +1=2+2 √2 +1=3+2 √2.

2. 2

   $\sqrt{2}\approx 1,41$√2 ≈ 1,41, donc $2\sqrt{2}\approx 2,83$2 √2 ≈ 2,83 et $3+2\sqrt{2}\approx 5,83$3+2 √2 ≈ 5,83.

3. 3

   $5,83>4$5,83>4 : donc $(\sqrt{2}+1{)}^2>4$( √2 +1)²>4.

Rappel de cours : On développe avec l'identité $(a+b{)}^2$(a+b)², en utilisant $(\sqrt{2}{)}^2=2$(sqrt2)²=2.

Correction détaillée

1. 1

   On résout l'équation : $x^2-x-2=0$x²-x-2=0, qui se factorise en $(x-2)(x+1)=0$(x-2)(x+1)=0.

2. 2

   Solutions : $x=2$x=2 ou $x=-1$x=-1.

   Ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

Rappel de cours : Résoudre $x^2=x+2$x²=x+2 = trouver les abscisses où parabole et droite se croisent.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-3{)}^2$(x-3)² est un carré, donc $(x-3{)}^2\ge 0$(x-3)²≥ 0.

2. 2

   En ajoutant $2$2 : $(x-3{)}^2+2\ge 2$(x-3)²+2≥ 2.

3. 3

   Le minimum $2$2 est atteint quand $(x-3{)}^2=0$(x-3)²=0, c'est-à-dire $x=3$x=3.

Rappel de cours : Un carré est toujours $\ge 0$≥ 0 : $(x-a{)}^2+b\ge b$(x-a)²+b≥ b, avec égalité (minimum) en $x=a$x=a.

Correction détaillée

1. 1

   1) $x^2=2x+3⟺x^2-2x-3=0$x²=2x+3⇔ x²-2x-3=0.

   On vérifie que $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$x²-2x-3=(x-3)(x+1) (développer : $x^2+x-3x-3$x²+x-3x-3).

2. 2

   Donc $x=3$x=3 ou $x=-1$x=-1, et les points sont $(3;9)$(3 ;9) et $(-1;1)$(-1 ;1).

3. 3

   2) $\mathcal{P}$P est en dessous de $d$d quand $x^2<2x+3$x²<2x+3, soit $(x-3)(x+1)<0$(x-3)(x+1)<0.

4. 4

   Tableau de signes : le produit est négatif entre les racines.

   Intervalle : $]-1;3[$]-1 ;3[.

Rappel de cours : Position relative de deux courbes : on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$f(x)-g(x).

Correction détaillée

1. 1

   $x^2<x⟺x^2-x<0⟺x(x-1)<0$x²<x⇔ x²-x<0⇔ x(x-1)<0.

2. 2

   Tableau de signes : $x$x s'annule en $0$0, $x-1$x-1 en $1$1.

   Le produit est négatif sur $]0;1[$]0 ;1[.

3. 3

   Interprétation : élever au carré un nombre strictement compris entre $0$0 et $1$1 le rend plus petit ($0,5^2=0,25$0,5²=0,25).

   Pour $x>1$x>1, le carré est plus grand ; pour $x<0$x<0, le carré est positif donc plus grand que $x$x.

Rappel de cours : « Le carré est toujours plus grand » est faux : c'est vrai seulement hors de $[0;1]$[0 ;1].