Exercices corrigés : Inéquations — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $2x\le 6$2x≤ 6 (on retranche $1$1).

2. 2

   $x\le 3$x≤ 3 (on divise par $2>0$2>0, le sens ne change pas).

Rappel de cours : Diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité.

Correction détaillée

1. 1

   On divise par $-3$-3 (négatif) : le sens de l'inégalité s'inverse.

2. 2

   $x<-2$x<-2.

Rappel de cours : Multiplier/diviser par un négatif INVERSE le sens de l'inégalité.

Erreur fréquente : Oublier d'inverser le sens est l'erreur la plus fréquente.

Correction détaillée

1. 1

   $5x-2x\ge 6+3$5x-2x≥ 6+3, soit $3x\ge 9$3x≥ 9.

2. 2

   $x\ge 3$x≥ 3 (division par $3>0$3>0).

Rappel de cours : On regroupe les $x$x d'un côté, les nombres de l'autre, comme pour une équation.

Correction détaillée

1. 1

   On retranche $2$2 : $-\frac{x}{3}\ge 3$-x/3≥ 3.

2. 2

   On multiplie par $-3$-3, un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.

   $x\le -9$x≤ -9.

Rappel de cours : Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Erreur fréquente : Garder $\ge$≥ après multiplication par $-3$-3 donnerait $x\ge -9$x≥ -9, qui est faux (tester $x=0$x=0 : $2\ge 5$2≥ 5 est faux).

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $2x-2<x+4$2x-2<x+4.

2. 2

   $2x-x<4+2$2x-x<4+2, soit $x<6$x<6.

Rappel de cours : On développe d'abord, puis on isole $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{x}{2}\ge 4$x/2≥ 4.

2. 2

   On multiplie par $2>0$2>0 : $x\ge 8$x≥ 8.

Rappel de cours : Multiplier par un positif (ici $2$2) ne change pas le sens.

Correction détaillée

1. 1

   $-2x\le 6$-2x≤ 6 (on retranche $3$3).

2. 2

   On divise par $-2$-2 : le sens s'inverse, $x\ge -3$x≥ -3.

Rappel de cours : Le signe $-2$-2 devant $x$x impose d'inverser le sens lors de la division.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe : $4-14<2x+3x$4-14<2x+3x, soit $-10<5x$-10<5x.

2. 2

   On divise par $5>0$5>0 : $-2<x$-2<x.

3. 3

   Les solutions sont les réels strictement supérieurs à $-2$-2 : crochet ouvert en $-2$-2.

Rappel de cours : Inégalité stricte $\Rightarrow$⇒ crochet ouvert ; inégalité large $\Rightarrow$⇒ crochet fermé. L'infini a toujours un crochet ouvert.

Correction détaillée

1. 1

   On note $x$x la note du dernier devoir.

   Somme des coefficients : $1+1+1+2=5$1+1+1+2=5.

2. 2

   Moyenne : $\frac{9+12+11+2x}{5}=\frac{32+2x}{5}$(9+12+11+2x)/5=(32+2x)/5.

3. 3

   $\frac{32+2x}{5}\ge 12⟺32+2x\ge 60⟺2x\ge 28⟺x\ge 14$(32+2x)/5≥ 12⇔ 32+2x≥ 60⇔ 2x≥ 28⇔ x≥ 14.

Rappel de cours : « Au moins » se traduit par $\ge$≥, « au plus » par $\le$≤.

Correction détaillée

1. 1

   Racines des facteurs : $1$1 et $-3$-3.

   On fait un tableau de signes sur $]-\infty ;-3[$]-∞;-3[, $]-3;1[$]-3;1[, $]1;+\infty [$]1;+∞[.

2. 2

   $x<-3$x<-3 : $(-)(-)=+$(-)(-)=+.

   $-3<x<1$-3<x<1 : $(-)(+)=-$(-)(+)=-.

   $x>1$x>1 : $(+)(+)=+$(+)(+)=+.

3. 3

   Le produit est $>0$>0 sur $]-\infty ;-3[\cup ]1;+\infty [$]-∞;-3[∪]1;+∞[.

Rappel de cours : Inéquation produit : tableau de signes de chaque facteur, puis règle des signes.

Correction détaillée

1. 1

   Racines : $2x-4=0$2x-4=0 en $2$2 ; $x+1=0$x+1=0 en $-1$-1.

2. 2

   Tableau : $x<-1$x<-1 : $(-)(-)=+$(-)(-)=+.

   $-1<x<2$-1<x<2 : $(-)(+)=-$(-)(+)=-.

   $x>2$x>2 : $(+)(+)=+$(+)(+)=+.

3. 3

   $\le 0$≤ 0 : on prend $[-1;2]$[-1;2], bornes incluses.

Rappel de cours : Avec $\le$≤, les racines (où le produit est nul) sont incluses.

Correction détaillée

1. 1

   Numérateur nul en $2$2, dénominateur nul en $-1$-1 (interdit).

   Tableau sur $]-\infty ;-1[$]-∞;-1[, $]-1;2[$]-1;2[, $[2;+\infty [$[2;+∞[.

2. 2

   $x<-1$x<-1 : $\frac{-}{-}=+$-/-=+.

   $-1<x<2$-1<x<2 : $\frac{-}{+}=-$-/+=-.

   $x>2$x>2 : $\frac{+}{+}=+$+/+=+.

3. 3

   $\ge 0$≥ 0 : $]-\infty ;-1[\cup [2;+\infty [$]-∞;-1[∪[2;+∞[ ($-1$-1 exclu, $2$2 inclus).

Rappel de cours : Quotient : tableau du numérateur ET du dénominateur ; la valeur interdite est toujours exclue.

Erreur fréquente : $x=-1$x=-1 annule le dénominateur : exclu même avec une inégalité large.

Correction détaillée

1. 1

   $3x-x>5+1$3x-x>5+1, soit $2x>6$2x>6, donc $x>3$x>3.

Rappel de cours : Comparer deux expressions du premier degré = résoudre l'inéquation correspondante.

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $x^2+4x+4\ge x^2-2x+1$x²+4x+4≥ x²-2x+1.

2. 2

   Les $x^2$x² s'éliminent : $4x+4\ge -2x+1⟺6x\ge -3⟺x\ge -\frac{1}{2}$4x+4≥ -2x+1⇔ 6x≥ -3⇔ x≥ -1/2.

3. 3

   Interprétation : $x$x est plus loin de $-2$-2 que de $1$1 exactement quand il est à droite du milieu $-\frac{1}{2}$-1/2.

Rappel de cours : Une inéquation qui semble du second degré peut se réduire au premier degré après développement.

Correction détaillée

1. 1

   On ramène tout d'un côté : $x^2-5x<0$x²-5x<0, puis on factorise : $x(x-5)<0$x(x-5)<0.

2. 2

   Tableau de signes : $x$x change de signe en $0$0, $x-5$x-5 en $5$5.

   Le produit est négatif entre les deux racines.

3. 3

   $S=]0;5[$S= ]0 ;5[.

Rappel de cours : Pour résoudre une inéquation, on compare à $0$0, on factorise, puis on fait un tableau de signes.

Erreur fréquente : Diviser par $x$x (« $x<5$x<5 ») est faux : on ne connaît pas le signe de $x$x. Par exemple, $x=-1$x=-1 vérifie $x<5$x<5 mais pas $x^2<5x$x²<5x.

Correction détaillée

1. 1

   On retranche $3$3 partout : $-4\le 2x<4$-4≤ 2x<4.

2. 2

   On divise par $2>0$2>0 partout : $-2\le x<2$-2≤ x<2.

Rappel de cours : Pour un encadrement, on applique la même opération aux trois membres à la fois.

Correction détaillée

1. 1

   Coût pour $x$x minutes : $10+0,10x$10+0,10x.

   Condition : $10+0,10x\le 25$10+0,10x≤ 25.

2. 2

   $0,10x\le 15$0,10x≤ 15, donc $x\le 150$x≤ 150.

Rappel de cours : « Ne pas dépasser » se traduit par $\le$≤. On résout l'inéquation.

Correction détaillée

1. 1

   Coûts : $A(x)=0,5x$A(x)=0,5x, $B(x)=8+0,2x$B(x)=8+0,2x. « B plus avantageuse » : $B(x)<A(x)$B(x)<A(x).

2. 2

   $8+0,2x<0,5x$8+0,2x<0,5x, soit $8<0,3x$8<0,3x, donc $x>\frac{8}{0,3}\approx 26,7$x>8/0,3≈ 26,7.

3. 3

   $x$x étant entier, B devient plus avantageuse à partir de $27$27 photos.

Rappel de cours : Comparer deux offres = inéquation entre les deux coûts. Arrondir selon le contexte (nombre entier).

Correction détaillée

1. 1

   Périmètre : $2(x+(x+2))=2(2x+2)=4x+4$2(x+(x+2))=2(2x+2)=4x+4.

   Condition : $4x+4>20$4x+4>20.

2. 2

   $4x>16$4x>16, donc $x>4$x>4. (La largeur doit aussi être positive, ce qui est assuré.)

Rappel de cours : On modélise le périmètre, on pose l'inéquation, on résout, en tenant compte des contraintes de sens ($x>0$x>0).

Correction détaillée

1. 1

   Valeur interdite : $x=3$x=3.

   On ne multiplie pas par $x-3$x-3 (signe inconnu) : on compare à $0$0.

2. 2

   $\frac{2x+1}{x-3}-1\le 0⟺\frac{2x+1-(x-3)}{x-3}\le 0⟺\frac{x+4}{x-3}\le 0$(2x+1)/(x-3)-1≤ 0⇔(2x+1-(x-3))/(x-3)≤ 0⇔(x+4)/(x-3)≤ 0.

3. 3

   Tableau de signes : $x+4$x+4 s'annule en $-4$-4, $x-3$x-3 en $3$3 (valeur interdite).

   Le quotient est négatif entre $-4$-4 et $3$3, nul en $-4$-4.

4. 4

   $S=[-4;3[$S=[-4 ;3[ : $-4$-4 inclus (quotient nul), $3$3 exclu (interdit).

Rappel de cours : Avec un quotient, on se ramène à « … $\le 0$≤ 0 » en une seule fraction, puis tableau de signes.

Erreur fréquente : Multiplier par $x-3$x-3 sans connaître son signe peut inverser le sens à tort.