Exercices corrigés : Fonction inverse — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=\frac{1}{2}=0,5$f(2)=1/2=0,5.

2. 2

   $f(0,5)=\frac{1}{0,5}=2$f(0,5)=1/0,5=2.

3. 3

   $f(-4)=\frac{1}{-4}=-0,25$f(-4)=1/(-4)=-0,25.

Rappel de cours : $f(x)=\frac{1}{x}$f(x)=1/x. L'inverse d'un nombre entre $0$0 et $1$1 est plus grand que $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   On ne divise pas par $0$0 : la fonction inverse est définie pour tout $x\ne 0$x≠ 0.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$D_f=ℝ\{0}.

Rappel de cours : $\frac{1}{x}$1/x n'existe pas en $0$0 : $0$0 est la valeur interdite.

Correction détaillée

1. 1

   L'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur : $\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}$1/(2/3)=3/2.

2. 2

   $0,25=\frac{1}{4}$0,25=1/4, donc son inverse est $4$4.

3. 3

   $-0,1=-\frac{1}{10}$-0,1=-1/10, donc son inverse est $-10$-10.

Rappel de cours : L'inverse de $x\ne 0$x≠ 0 est le nombre $\frac{1}{x}$1/x tel que $x\times \frac{1}{x}=1$x×1/x=1. Il a le même signe que $x$x.

Erreur fréquente : Ne pas confondre inverse ($\frac{1}{x}$1/x) et opposé ($-x$-x).

Correction détaillée

1. 1

   $f(1)=\frac{1}{1}=1$f(1)=1/1=1 (on lit la hauteur de la courbe en $x=1$x=1).

2. 2

   $f(2)=\frac{1}{2}=0,5$f(2)=1/2=0,5.

3. 3

   L'antécédent de $2$2 est le $x$x tel que $f(x)=2$f(x)=2 : on lit $x=0,5$x=0,5 (car $\frac{1}{0,5}=2$1/0,5=2).

Rappel de cours : Plus $x$x augmente, plus $\frac{1}{x}$1/x diminue : la courbe descend vers l'axe des abscisses sans le toucher.

Correction détaillée

1. 1

   La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$]0;+∞[.

2. 2

   Elle est aussi décroissante sur $]-\infty ;0[$]-∞;0[.

3. 3

   Attention : elle n'est PAS décroissante sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ℝ\{0} tout entier (saut en $0$0).

Rappel de cours : La fonction inverse décroît sur chacun des deux intervalles, mais pas « à travers » $0$0.

Erreur fréquente : Ne pas dire « décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) » : $f(-1)=-1$f(-1)=-1 et $f(1)=1$f(1)=1, donc $f$f « remonte » en passant de $-1$-1 à $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $f$f décroît : $3<5$3<5 donne $\frac{1}{3}>\frac{1}{5}$1/3>1/5.

2. 2

   Sur $]-\infty ;0[$]-∞;0[, $f$f décroît aussi : $-4<-2$-4<-2 donne $\frac{1}{-4}>\frac{1}{-2}$1/(-4)>1/(-2), c'est-à-dire $-0,25>-0,5$-0,25>-0,5.

Rappel de cours : Pour des positifs, plus le nombre est grand, plus son inverse est petit.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x}=4⟺1=4x⟺x=\frac{1}{4}$1/x=4 ⇔ 1=4x ⇔ x=1/4.

2. 2

   $\frac{1}{x}=-2⟺1=-2x⟺x=-\frac{1}{2}$1/x=-2 ⇔ 1=-2x ⇔ x=-1/2.

Rappel de cours : $\frac{1}{x}=k$1/x=k ($k\ne 0$k≠ 0) donne $x=\frac{1}{k}$x=1/k. On multiplie par $x$x puis on isole.

Correction détaillée

1. 1

   Le point $(x;y)$(x ;y) est sur l'hyperbole si et seulement si $y=\frac{1}{x}$y=1/x.

2. 2

   $A$A : $\frac{1}{4}=0,25$1/4=0,25, oui.

   $B$B : $\frac{1}{-0,5}=-2$1/(-0,5)=-2, oui.

3. 3

   $C$C : $\frac{1}{3}=0,333\dots \ne 0,33$1/3=0,333…≠ 0,33.

   $C$C n'est pas sur la courbe, même s'il en est très proche.

Rappel de cours : Une valeur arrondie n'est pas égale à la valeur exacte.

Correction détaillée

1. 1

   La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[, et $[-4;-2]$[-4 ;-2] est inclus dans cet intervalle : elle inverse l'ordre.

2. 2

   $-4\le x\le -2\Rightarrow \frac{1}{-2}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{-4}$-4≤ x≤ -2⇒1/(-2)≤1/x≤1/(-4), soit $-\frac{1}{2}\le \frac{1}{x}\le -\frac{1}{4}$-1/2≤1/x≤ -1/4.

Rappel de cours : Fonction décroissante sur un intervalle : l'ordre des images est inversé.

Erreur fréquente : Vérifier sur un exemple : $x=-3$x=-3 donne $\frac{1}{x}\approx -0,33$1/x≈ -0,33, bien entre $-0,5$-0,5 et $-0,25$-0,25.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $x>0$x>0.

   On multiplie par $x>0$x>0 (sens conservé) : $1>2x$1>2x.

2. 2

   $x<\frac{1}{2}$x<1/2.

   En tenant compte de $x>0$x>0 : $0<x<\frac{1}{2}$0<x<1/2.

Rappel de cours : Multiplier par $x>0$x>0 ne change pas le sens. On combine avec le domaine $x>0$x>0.

Erreur fréquente : On ne peut multiplier par $x$x sans précaution que si on connaît son signe (ici $x>0$x>0).

Correction détaillée

1. 1

   Sur $[2;5]$[2;5], $f$f est décroissante : elle inverse l'ordre.

2. 2

   $2\le x\le 5\Rightarrow \frac{1}{5}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{2}$2≤ x≤ 5 ⇒ 1/5≤1/x≤1/2.

Rappel de cours : Fonction décroissante : les bornes s'échangent ($x=2$x=2 donne la plus grande image $\frac{1}{2}$1/2).

Correction détaillée

1. 1

   Produit en croix : $2\times 3=1\times x$2× 3=1× x, donc $x=6$x=6.

2. 2

   $x=6\ne 0$x=6≠ 0 : convient.

Rappel de cours : Égalité de deux quotients : produit en croix (sans oublier la valeur interdite $x\ne 0$x≠ 0).

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x}$1/x a le même signe que $x$x.

2. 2

   $\frac{1}{x}>0$1/x>0 si $x>0$x>0, $\frac{1}{x}<0$1/x<0 si $x<0$x<0, non définie en $0$0.

Rappel de cours : L'inverse conserve le signe : positif pour $x>0$x>0, négatif pour $x<0$x<0.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{R}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$1/R=1/6+1/3=1/6+2/6=3/6=1/2.

2. 2

   $R$R est l'inverse de $\frac{1}{2}$1/2 : $R=2\Omega$R=2 Ω.

3. 3

   $R=2$R=2 est plus petit que $R_1=6$R₁=6 et que $R_2=3$R₂=3.

   En effet $\frac{1}{R}>\frac{1}{R_2}$1/R>1/R₂, et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[, donc $R<R_2$R<R₂ (de même $R<R_1$R<R₁).

Rappel de cours : Sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[, si $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$1/a>1/b alors $a<b$a<b (la fonction inverse renverse l'ordre).

Erreur fréquente : $\frac{1}{R}=\frac{1}{2}$1/R=1/2 ne donne pas $R=\frac{1}{2}$R=1/2 : il faut encore prendre l'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   L'intervalle $[-1;2]$[-1 ;2] contient $0$0, où $\frac{1}{x}$1/x n'existe pas.

   De plus la fonction inverse n'est pas monotone sur un intervalle qui contient $0$0.

2. 2

   L'encadrement proposé est d'ailleurs absurde : $\frac{1}{2}\le -1$1/2≤ -1 est faux.

3. 3

   Sur $[-1;0[$[-1 ;0[, $\frac{1}{x}$1/x prend toutes les valeurs de $]-\infty ;-1]$]-∞ ;-1].

   Sur $]0;2]$]0 ;2], toutes les valeurs de $\left[\frac{1}{2};+\infty \right[$[1/2 ;+∞[.

Rappel de cours : Les variations de la fonction inverse s'utilisent séparément sur $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[ et sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[.

Erreur fréquente : Près de $0$0, $\frac{1}{x}$1/x devient très grand en valeur absolue : aucun encadrement n'est possible.

Correction détaillée

1. 1

   $t(40)=\frac{60}{40}=1,5$t(40)=60/40=1,5 h.

2. 2

   On résout $\frac{60}{v}=1,5$60/v=1,5 : $60=1,5v$60=1,5v, donc $v=\frac{60}{1,5}=40$v=60/1,5=40 km/h.

Rappel de cours : Le temps est inversement proportionnel à la vitesse : $t=\frac{d}{v}$t=d/v, une fonction inverse (à $d$d fixé).

Correction détaillée

1. 1

   Sur $]-\infty ;0[$]-∞;0[, $\frac{1}{x}<0$1/x<0 (l'inverse d'un négatif est négatif).

2. 2

   Or $0<3$0<3, donc $\frac{1}{x}<0<3$1/x<0<3 est toujours vrai pour $x<0$x<0.

3. 3

   L'inéquation est vérifiée pour tout $x<0$x<0.

Rappel de cours : Sur les négatifs, $\frac{1}{x}$1/x est négatif, donc automatiquement inférieur à tout nombre positif.

Erreur fréquente : On ne multiplie pas par $x<0$x<0 sans inverser le sens ; ici un raisonnement sur le signe suffit.

Correction détaillée

1. 1

   $x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}$x-1/x=(x²-1)/x=((x-1)(x+1))/x.

   Pour $x>0$x>0, $x+1>0$x+1>0 et $x>0$x>0.

2. 2

   Le signe est celui de $x-1$x-1 : si $0<x<1$0<x<1, $x-\frac{1}{x}<0$x-1/x<0 donc $x<\frac{1}{x}$x<1/x ; si $x>1$x>1, $x>\frac{1}{x}$x>1/x ; égalité en $x=1$x=1.

Rappel de cours : Comparer deux expressions = étudier le signe de leur différence (ici en la factorisant).

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x}=x⟺1=x^2$1/x=x ⇔ 1=x² (en multipliant par $x>0$x>0), soit $x^2=1$x²=1.

2. 2

   Pour $x>0$x>0, la seule solution est $x=1$x=1 (point d'intersection des deux courbes).

Rappel de cours : $\frac{1}{x}=x$1/x=x revient à $x^2=1$x²=1. Pour $x>0$x>0, on garde $x=1$x=1 ; les courbes se croisent en $(1;1)$(1;1).

Correction détaillée

1. 1

   Cas $x>0$x>0 : $\frac{1}{x}>0>-1$1/x>0>-1.

   Tous les réels strictement positifs sont solutions.

2. 2

   Cas $x<0$x<0 : on ramène à $0$0.

   $\frac{1}{x}+1\ge 0⟺\frac{1+x}{x}\ge 0$1/x+1≥ 0⇔(1+x)/x≥ 0.

   Comme $x<0$x<0, il faut $1+x\le 0$1+x≤ 0, soit $x\le -1$x≤ -1.

3. 3

   Contrôle : $x=-2$x=-2 donne $-0,5\ge -1$-0,5≥ -1, vrai ; $x=-0,5$x=-0,5 donne $-2\ge -1$-2≥ -1, faux.

Rappel de cours : Avec $\frac{1}{x}$1/x, on distingue toujours les cas $x>0$x>0 et $x<0$x<0.

Erreur fréquente : Écrire « $1\ge -x$1≥ -x donc $x\ge -1$x≥ -1 » en multipliant par $x$x sans regarder son signe est faux.