Notion

Les identités remarquables

Les identités remarquables sont trois égalités toujours vraies qui permettent de développer ou de factoriser très vite certaines expressions : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b², $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ (a-b)²=a²-2ab+b² et $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (a+b)(a-b)=a²-b². Lues de gauche à droite, elles développent ; lues de droite à gauche, elles factorisent. Les reconnaître évite de longs calculs et sert partout : résolution d'équations, factorisation de trinômes, simplification de fractions, calcul mental ( $10 1^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 + 1$ 101²=100²+2×100+1). Le piège classique est d'oublier le double produit $2 ab$ 2ab : $(a + b)^{2}$ (a+b)² n'est pas $a^{2} + b^{2}$ a²+b². Ces identités sont un outil incontournable du calcul littéral, du collège au lycée.

Définitions

Identité remarquable: C'est une égalité toujours vraie qui relie une forme factorisée et une forme développée, par exemple $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)² = a² + 2ab + b².
Double produit: Le terme central $2 ab$ 2ab de $(a \pm b)^{2}$ (a± b)² est le double produit. L'oublier est l'erreur la plus fréquente : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (x+3)²=x²+6x+9, pas $x^{2} + 9$ x²+9.

Formules

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Les trois identités →

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = a² - b²Les trois égalités à connaître par cœur.

Méthodes

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Utiliser les identités remarquables →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Carré d'une somme

Niveau 1 · Application directe

Développer

(x + 3)^{2}

(x+3)².

Voir la correction

1.
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)² = a² + 2ab + b² avec $a = x$ a = x, $b = 3$ b = 3.
→ Les trois identités
2.
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (x+3)² = x² + 6x + 9.

Réponse :

x^{2} + 6 x + 9

x² + 6x + 9.

Erreur fréquente : Oublier le double produit : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (x+3)²=x²+6x+9, pas $x^{2} + 9$ x²+9.

Carré d'une différence

Niveau 2 · Méthode complète

Développer

(2 x - 1)^{2}

(2x-1)².

Voir la correction

1.
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ (a-b)² = a² - 2ab + b² avec $a = 2 x$ a = 2x, $b = 1$ b = 1.
→ Les trois identités
2.
$(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ (2x-1)² = 4x² - 4x + 1.

Réponse :

4 x^{2} - 4 x + 1

4x² - 4x + 1.

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Questions fréquentes

C'est quoi les identités remarquables ?

Ce sont trois formules à connaître par cœur qui accélèrent les calculs : (a+b)², (a−b)² et (a+b)(a−b). Elles évitent de tout redévelopper à chaque fois.

Quelle est l'erreur la plus fréquente ?

Oublier le double produit : (x+3)² n'est pas x²+9 mais x²+6x+9. Le terme du milieu 2ab est essentiel.

À quoi servent-elles ?

À développer rapidement, mais aussi à factoriser (en lisant la formule à l'envers) et à faire du calcul mental, comme 99² = (100−1)² = 9801.

Quelles sont les trois identités remarquables ?

(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b². Ce sont les trois à connaître par cœur.

Comment factoriser avec une identité remarquable ?

On lit la formule à l'envers. Par exemple x² − 9 est de la forme a² − b² avec a = x et b = 3, donc x² − 9 = (x − 3)(x + 3). De même x² + 6x + 9 = (x + 3)².

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