Exercices corrigés : Identités remarquables — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   Identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=x$a=x, $b=5$b=5.

2. 2

   $(x+5{)}^2=x^2+2\times x\times 5+5^2=x^2+10x+25$(x+5)²=x²+2× x× 5+5²=x²+10x+25.

Rappel de cours : $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² : ne pas oublier le « double produit » $2ab$2ab.

Erreur fréquente : $(x+5{)}^2\ne x^2+25$(x+5)²≠ x²+25 : il manquerait le terme $10x$10x.

Correction détaillée

1. 1

   $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)²=a²-2ab+b² avec $a=x$a=x, $b=3$b=3.

2. 2

   $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$(x-3)²=x²-6x+9.

Rappel de cours : $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)²=a²-2ab+b² : le double produit est négatif, mais $b^2$b² reste positif.

Correction détaillée

1. 1

   Identité $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b)=a²-b² avec $a=x$a=x, $b=4$b=4.

2. 2

   $(x+4)(x-4)=x^2-16$(x+4)(x-4)=x²-16.

Rappel de cours : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b)=a²-b² : le résultat n'a pas de terme en $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   On applique $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=\frac{x}{2}$a=x/2 et $b=1$b=1.

2. 2

   $a^2=\frac{x^2}{4}$a²=x²/4, $2ab=2\times \frac{x}{2}\times 1=x$2ab=2timesx/2× 1=x, $b^2=1$b²=1.

Rappel de cours : $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² : le double produit $2ab$2ab ne disparaît jamais.

Erreur fréquente : ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{x^2}{4}$(x/2)²=x²/4, pas $\frac{x^2}{2}$x²/2 : le dénominateur est aussi élevé au carré.

Correction détaillée

1. 1

   $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=2x$a=2x, $b=3$b=3.

2. 2

   $(2x{)}^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$(2x)²+2× 2x× 3+3²=4x²+12x+9.

Rappel de cours : $(2x{)}^2=4x^2$(2x)²=4x² : on élève le coefficient ET la variable au carré.

Correction détaillée

1. 1

   $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a-b)(a+b)=a²-b² avec $a=3x$a=3x, $b=2$b=2.

2. 2

   $(3x{)}^2-2^2=9x^2-4$(3x)²-2²=9x²-4.

Rappel de cours : On reconnaît la forme $(a-b)(a+b)$(a-b)(a+b) même si les facteurs sont écrits dans l'autre ordre.

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1. 1

   $101^2=(100+1{)}^2=100^2+2\times 100+1=10000+200+1=10201$101²=(100+1)²=100²+2× 100+1=10000+200+1=10201.

2. 2

   $99\times 101=(100-1)(100+1)=100^2-1=9999$99× 101=(100-1)(100+1)=100²-1=9999.

Rappel de cours : Les identités remarquables accélèrent les calculs mentaux en décomposant autour d'un nombre rond.

Correction détaillée

1. 1

   $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$(x+2)²=x²+4x+4 et $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$(x-2)²=x²-4x+4.

2. 2

   En additionnant, les doubles produits $+4x$+4x et $-4x$-4x s'annulent : $A=2x^2+8$A=2x²+8.

Rappel de cours : $(a+b{)}^2$(a+b)² et $(a-b{)}^2$(a-b)² ne diffèrent que par le signe du double produit.

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1. 1

   Les termes extrêmes sont des carrés : $25x^2=(5x{)}^2$25x²=(5x)² et $4=2^2$4=2².

   On teste $a=5x$a=5x, $b=2$b=2.

2. 2

   Double produit attendu : $2ab=2\times 5x\times 2=20x$2ab=2× 5x× 2=20x.

   C'est bien le terme du milieu.

3. 3

   Donc $25x^2+20x+4=(5x+2{)}^2$25x²+20x+4=(5x+2)².

Rappel de cours : Pour reconnaître $a^2+2ab+b^2$a²+2ab+b², on identifie $a$a et $b$b avec les carrés, puis on vérifie le double produit.

Erreur fréquente : Sans vérifier le double produit, on se trompe : $25x^2+10x+4$25x²+10x+4 n'est pas un carré.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$x²-25=x²-5²=(x-5)(x+5).

2. 2

   $9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$9x²-16=(3x)²-4²=(3x-4)(3x+4).

Rappel de cours : Une différence de carrés $a^2-b^2$a²-b² se factorise en $(a-b)(a+b)$(a-b)(a+b).

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+6x+9=x^2+2\times x\times 3+3^2=(x+3{)}^2$x²+6x+9=x²+2× x× 3+3²=(x+3)².

2. 2

   $x^2-10x+25=x^2-2\times x\times 5+5^2=(x-5{)}^2$x²-10x+25=x²-2× x× 5+5²=(x-5)².

Rappel de cours : Un trinôme $a^2\pm 2ab+b^2$a²± 2ab+b² est le carré $(a\pm b{)}^2$(a± b)². Vérifier que le terme du milieu est bien le double produit.

Correction détaillée

1. 1

   On teste un carré : $4x^2=(2x{)}^2$4x²=(2x)², $9=3^2$9=3², et le double produit serait $2\times 2x\times 3=12x$2× 2x× 3=12x.

2. 2

   Le terme du milieu est $-12x$-12x, donc $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$4x²-12x+9=(2x-3)².

Rappel de cours : Pour reconnaître un carré, on identifie $a^2$a² et $b^2$b², puis on vérifie que le terme central vaut $2ab$2ab.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît une différence de carrés : $(x+1{)}^2-3^2$(x+1)²-3².

2. 2

   $(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)$(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).

Rappel de cours : $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$A²-B²=(A-B)(A+B) marche même si $A$A est une parenthèse comme $(x+1)$(x+1).

Correction détaillée

1. 1

   $B=x^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$B=x²-(1/3)²=(x-1/3)(x+1/3).

2. 2

   $C=4^2-(x+1{)}^2=(4-(x+1)\left)\right(4+(x+1))$C=4²-(x+1)²=(4-(x+1))(4+(x+1)).

3. 3

   On enlève les parenthèses intérieures : $4-x-1=3-x$4-x-1=3-x et $4+x+1=x+5$4+x+1=x+5.

   $C=(3-x)(x+5)$C=(3-x)(x+5).

Rappel de cours : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a²-b²=(a-b)(a+b), même quand $a$a ou $b$b est une expression entière.

Erreur fréquente : Dans $4-(x+1)$4-(x+1), le moins porte sur tout : $4-x-1$4-x-1, pas $4-x+1$4-x+1.

Correction détaillée

1. 1

   $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$(a+b)²-(a-b)²=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=4ab.

2. 2

   On peut aussi factoriser directement : $((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=2b\times 2a=4ab$((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=2b× 2a=4ab.

3. 3

   Avec $a=1000$a=1 000 et $b=1$b=1 : $1001^2-999^2=4\times 1000\times 1=4000$1 001²-999²=4× 1 000× 1=4 000.

Rappel de cours : Une identité démontrée pour tous $a$a, $b$b s'applique à n'importe quelles valeurs particulières.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-49=(x-7)(x+7)$x²-49=(x-7)(x+7).

2. 2

   $(x-7)(x+7)=0$(x-7)(x+7)=0 : produit nul, donc $x=7$x=7 ou $x=-7$x=-7.

Rappel de cours : Factoriser une différence de carrés transforme l'équation en équation produit.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$x²+4x+4=(x+2)².

2. 2

   $(x+2{)}^2=0⟺x+2=0⟺x=-2$(x+2)²=0 ⇔ x+2=0 ⇔ x=-2.

Rappel de cours : Un carré parfait $(x+2{)}^2=0$(x+2)²=0 n'a qu'une solution : $x=-2$x=-2.

Correction détaillée

1. 1

   Différence de carrés $A^2-B^2$A²-B² avec $A=2x-1$A=2x-1, $B=x+3$B=x+3.

2. 2

   $(A-B)(A+B)=[(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)]$(A-B)(A+B)=[(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)].

3. 3

   $=(2x-1-x-3)(2x-1+x+3)=(x-4)(3x+2)$=(2x-1-x-3)(2x-1+x+3)=(x-4)(3x+2).

Rappel de cours : Avec deux parenthèses au carré, on applique $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$A²-B²=(A-B)(A+B) puis on réduit chaque facteur.

Erreur fréquente : Distribuer le signe $-$- dans $A-B=(2x-1)-(x+3)=x-4$A-B=(2x-1)-(x+3)=x-4 (et non $x+2$x+2).

Correction détaillée

1. 1

   On veut faire apparaître $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$(x+3)²=x²+6x+9.

2. 2

   $x^2+6x+5=(x^2+6x+9)-9+5=(x+3{)}^2-4$x²+6x+5=(x²+6x+9)-9+5=(x+3)²-4.

Rappel de cours : Compléter le carré : ajouter et retrancher le bon terme ($9$9 ici) pour reconstituer un carré parfait.

Correction détaillée

1. 1

   $(n+1{)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$(n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1.

2. 2

   Un nombre impair positif s'écrit $2n+1$2n+1 avec $n$n entier naturel.

   D'après le calcul, il est égal à $(n+1{)}^2-n^2$(n+1)²-n².

3. 3

   $2027=2\times 1013+1$2 027=2× 1 013+1, donc $n=1013$n=1 013 et $2027=1014^2-1013^2$2 027=1 014²-1 013².

4. 4

   Contrôle avec la différence de carrés : $(1014-1013)(1014+1013)=1\times 2027$(1 014-1 013)(1 014+1 013)=1× 2 027.

Rappel de cours : Un entier impair s'écrit $2n+1$2n+1, un entier pair $2n$2n.