Exercices corrigés : Identités remarquables — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   Identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=x$a=x, $b=5$b=5.

2. 2

   $(x+5{)}^2=x^2+2\times x\times 5+5^2=x^2+10x+25$(x+5)²=x²+2× x× 5+5²=x²+10x+25.

Rappel de cours : $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² : ne pas oublier le « double produit » $2ab$2ab.

Erreur fréquente : $(x+5{)}^2\ne x^2+25$(x+5)²≠ x²+25 : il manquerait le terme $10x$10x.

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1. 1

   $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)²=a²-2ab+b² avec $a=x$a=x, $b=3$b=3.

2. 2

   $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$(x-3)²=x²-6x+9.

Rappel de cours : $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)²=a²-2ab+b² : le double produit est négatif, mais $b^2$b² reste positif.

Correction détaillée

1. 1

   Identité $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b)=a²-b² avec $a=x$a=x, $b=4$b=4.

2. 2

   $(x+4)(x-4)=x^2-16$(x+4)(x-4)=x²-16.

Rappel de cours : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b)=a²-b² : le résultat n'a pas de terme en $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=2x$a=2x, $b=3$b=3.

2. 2

   $(2x{)}^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$(2x)²+2× 2x× 3+3²=4x²+12x+9.

Rappel de cours : $(2x{)}^2=4x^2$(2x)²=4x² : on élève le coefficient ET la variable au carré.

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1. 1

   $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a-b)(a+b)=a²-b² avec $a=3x$a=3x, $b=2$b=2.

2. 2

   $(3x{)}^2-2^2=9x^2-4$(3x)²-2²=9x²-4.

Rappel de cours : On reconnaît la forme $(a-b)(a+b)$(a-b)(a+b) même si les facteurs sont écrits dans l'autre ordre.

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1. 1

   $101^2=(100+1{)}^2=100^2+2\times 100+1=10000+200+1=10201$101²=(100+1)²=100²+2× 100+1=10000+200+1=10201.

2. 2

   $99\times 101=(100-1)(100+1)=100^2-1=9999$99× 101=(100-1)(100+1)=100²-1=9999.

Rappel de cours : Les identités remarquables accélèrent les calculs mentaux en décomposant autour d'un nombre rond.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$x²-25=x²-5²=(x-5)(x+5).

2. 2

   $9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$9x²-16=(3x)²-4²=(3x-4)(3x+4).

Rappel de cours : Une différence de carrés $a^2-b^2$a²-b² se factorise en $(a-b)(a+b)$(a-b)(a+b).

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+6x+9=x^2+2\times x\times 3+3^2=(x+3{)}^2$x²+6x+9=x²+2× x× 3+3²=(x+3)².

2. 2

   $x^2-10x+25=x^2-2\times x\times 5+5^2=(x-5{)}^2$x²-10x+25=x²-2× x× 5+5²=(x-5)².

Rappel de cours : Un trinôme $a^2\pm 2ab+b^2$a²± 2ab+b² est le carré $(a\pm b{)}^2$(a± b)². Vérifier que le terme du milieu est bien le double produit.

Correction détaillée

1. 1

   On teste un carré : $4x^2=(2x{)}^2$4x²=(2x)², $9=3^2$9=3², et le double produit serait $2\times 2x\times 3=12x$2× 2x× 3=12x.

2. 2

   Le terme du milieu est $-12x$-12x, donc $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$4x²-12x+9=(2x-3)².

Rappel de cours : Pour reconnaître un carré, on identifie $a^2$a² et $b^2$b², puis on vérifie que le terme central vaut $2ab$2ab.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît une différence de carrés : $(x+1{)}^2-3^2$(x+1)²-3².

2. 2

   $(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)$(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).

Rappel de cours : $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$A²-B²=(A-B)(A+B) marche même si $A$A est une parenthèse comme $(x+1)$(x+1).

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-49=(x-7)(x+7)$x²-49=(x-7)(x+7).

2. 2

   $(x-7)(x+7)=0$(x-7)(x+7)=0 : produit nul, donc $x=7$x=7 ou $x=-7$x=-7.

Rappel de cours : Factoriser une différence de carrés transforme l'équation en équation produit.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$x²+4x+4=(x+2)².

2. 2

   $(x+2{)}^2=0⟺x+2=0⟺x=-2$(x+2)²=0 ⇔ x+2=0 ⇔ x=-2.

Rappel de cours : Un carré parfait $(x+2{)}^2=0$(x+2)²=0 n'a qu'une solution : $x=-2$x=-2.

Correction détaillée

1. 1

   Différence de carrés $A^2-B^2$A²-B² avec $A=2x-1$A=2x-1, $B=x+3$B=x+3.

2. 2

   $(A-B)(A+B)=[(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)]$(A-B)(A+B)=[(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)].

3. 3

   $=(2x-1-x-3)(2x-1+x+3)=(x-4)(3x+2)$=(2x-1-x-3)(2x-1+x+3)=(x-4)(3x+2).

Rappel de cours : Avec deux parenthèses au carré, on applique $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$A²-B²=(A-B)(A+B) puis on réduit chaque facteur.

Erreur fréquente : Distribuer le signe $-$- dans $A-B=(2x-1)-(x+3)=x-4$A-B=(2x-1)-(x+3)=x-4 (et non $x+2$x+2).

Correction détaillée

1. 1

   On veut faire apparaître $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$(x+3)²=x²+6x+9.

2. 2

   $x^2+6x+5=(x^2+6x+9)-9+5=(x+3{)}^2-4$x²+6x+5=(x²+6x+9)-9+5=(x+3)²-4.

Rappel de cours : Compléter le carré : ajouter et retrancher le bon terme ($9$9 ici) pour reconstituer un carré parfait.