Notion

L'équation produit nul

Une équation produit nul est une équation où un produit de facteurs est égal à zéro, du type $A \times B = 0$ A× B=0. Elle se résout grâce à la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. Ainsi $A \times B = 0$ A× B=0 équivaut à $A = 0$ A=0 ou $B = 0$ B=0, et l'on résout séparément chaque équation plus simple. Par exemple, $(x - 2) (x + 3) = 0$ (x-2)(x+3)=0 donne $x = 2$ x=2 ou $x = - 3$ x=-3. Pour appliquer cette règle, l'expression doit d'abord être factorisée : c'est pourquoi factoriser est l'étape clé de la résolution des équations, notamment du second degré.

Définitions

Règle du produit nul: Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul : $A \times B = 0 ⟺ A = 0$ A × B = 0 ⇔ A = 0 ou $B = 0$ B = 0.
Factoriser pour résoudre: Beaucoup d'équations se ramènent à un produit nul après factorisation. Par exemple $x^{2} - 9 = 0$ x² - 9 = 0 devient $(x - 3) (x + 3) = 0$ (x-3)(x+3) = 0 : on transforme une équation en deux équations simples du premier degré.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Règle du produit nul →

A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0Un produit est nul quand un facteur l'est.

Méthodes

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Résoudre une équation produit nul →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Produit déjà factorisé

Niveau 1 · Application directe

Résoudre

(x - 2) (x + 3) = 0

(x-2)(x+3) = 0.

Voir la correction

1.
Un produit est nul si un facteur l'est.
→ Règle du produit nul
2.
$x = 2$ x = 2 ou $x = - 3$ x = -3.

Réponse :

S = {- 3; 2}

S = {-3 ;2}.

Factoriser d'abord

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

x^{2} - 5 x = 0

x² - 5x = 0.

Voir la correction

1.
On factorise : $x (x - 5) = 0$ x(x - 5) = 0.
→ Règle du produit nul
2.
$x = 0$ x = 0 ou $x - 5 = 0$ x - 5 = 0, donc $x = 0$ x = 0 ou $x = 5$ x = 5.

Réponse :

S = {0; 5}

S = {0 ;5}.

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Questions fréquentes

C'est quoi la règle du produit nul ?

Un produit est égal à 0 seulement si l'un de ses facteurs est 0. Donc pour résoudre (x−2)(x+3) = 0, il suffit d'annuler chaque facteur.

Pourquoi ne pas développer ?

Parce que la forme factorisée donne les solutions directement. Développer compliquerait inutilement : on perdrait l'avantage du produit nul.

Et si l'équation n'est pas un produit ?

On factorise d'abord pour obtenir un produit égal à 0. Par exemple x² − 5x = 0 se factorise en x(x − 5) = 0.

Quelle est la règle du produit nul ?

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

Comment résoudre une équation produit nul ?

On annule chaque facteur séparément, ce qui donne plusieurs équations simples. Par exemple (x − 2)(x + 5) = 0 donne x = 2 ou x = −5, donc S = {−5 ; 2}.

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