Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire avec le plus petit nombre entier possible sous le radical, en sortant les carrés parfaits. On décompose le nombre en un produit faisant apparaître un carré parfait, puis on utilise √(a× b)=√(a)×√(b) : par exemple √(50)=√(25×2)=5√(2). Une racine est dite simplifiée quand le nombre restant sous le radical n'a plus aucun facteur carré parfait autre que 1. Cette forme est indispensable pour additionner des racines semblables, comparer des expressions, ou donner un résultat exact plutôt qu'une valeur décimale approchée. C'est une compétence de base réutilisée jusqu'en terminale.
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Méthode utilisée : On extrait le plus grand carré parfait : 50=25× 2.
Erreur fréquente : S'arrêter à un carré parfait non maximal.
Méthode utilisée : 12=4× 3, on sort √4 =2.
Erreur fréquente : Choisir 12=2× 6 (sans carré parfait).
Pour l'écrire plus simplement et faciliter les calculs. 5√2 est plus parlant et plus pratique que √50, tout en étant exactement la même valeur.
On cherche un carré parfait qui divise le nombre (4, 9, 16, 25…), on le sort de la racine. Par exemple √50 = √(25×2) = 5√2.
Quand il ne reste plus aucun carré parfait sous la racine. Si le reste est un nombre premier ou un produit de nombres premiers tous différents, c'est terminé.
On utilise √(a²·b) = a√b : on sort de la racine le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
On repère le plus grand carré parfait diviseur : 72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2.
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