Exercices corrigés : Équations — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   On ajoute $7$7 aux deux membres : $3x=12$3x=12.

2. 2

   On divise par $3$3 : $x=4$x=4.

Rappel de cours : On isole $x$x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe les $x$x à gauche, les constantes à droite : $5x-3x=8+2$5x-3x=8+2.

2. 2

   $2x=10$2x=10, donc $x=5$x=5.

Rappel de cours : On déplace les termes en $x$x d'un côté, les nombres de l'autre (en changeant de signe).

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1. 1

   On développe : $2x+6=10$2x+6=10.

2. 2

   $2x=4$2x=4, donc $x=2$x=2. (On pouvait aussi diviser d'abord par $2$2 : $x+3=5$x+3=5.)

Rappel de cours : Développer ou diviser par le facteur commun : deux méthodes valables.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe les $x$x à gauche et les nombres à droite : $0,4x-0,1x=0,6+1,2$0,4x-0,1x=0,6+1,2.

2. 2

   $0,3x=1,8$0,3x=1,8, donc $x=\frac{1,8}{0,3}=6$x=1,8/0,3=6.

3. 3

   Vérification : $2,4-1,2=1,2$2,4-1,2=1,2 et $0,6+0,6=1,2$0,6+0,6=1,2.

Rappel de cours : On peut aussi multiplier les deux membres par $10$10 pour travailler avec des entiers : $4x-12=x+6$4x-12=x+6.

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1. 1

   $\frac{x}{3}=4-1=3$x/3=4-1=3.

2. 2

   On multiplie par $3$3 : $x=9$x=9.

Rappel de cours : Pour « enlever » une division par $3$3, on multiplie les deux membres par $3$3.

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1. 1

   On multiplie par $3$3 : $2x-1=15$2x-1=15.

2. 2

   $2x=16$2x=16, donc $x=8$x=8.

Rappel de cours : On supprime le dénominateur en multipliant tout par celui-ci.

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1. 1

   Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.

2. 2

   $x-2=0$x-2=0 ou $x+5=0$x+5=0, donc $x=2$x=2 ou $x=-5$x=-5.

Rappel de cours : $A\times B=0⟺A=0$A× B=0⇔ A=0 ou $B=0$B=0.

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1. 1

   Le facteur commun est $(x+1)$(x+1) : $(x+1)[(2x-3)-(x+4)]=0$(x+1)[(2x-3)-(x+4)]=0.

2. 2

   Crochet : $2x-3-x-4=x-7$2x-3-x-4=x-7.

   L'équation devient $(x+1)(x-7)=0$(x+1)(x-7)=0.

3. 3

   Produit nul : $x+1=0$x+1=0 ou $x-7=0$x-7=0, soit $x=-1$x=-1 ou $x=7$x=7.

Rappel de cours : Une équation du type « produit $=0$=0 » se résout facteur par facteur.

Erreur fréquente : Diviser les deux membres par $(x+1)$(x+1) ferait perdre la solution $x=-1$x=-1.

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1. 1

   $4x^2=(2x{)}^2$4x²=(2x)², $9=3^2$9=3² et $2\times 2x\times 3=12x$2× 2x× 3=12x : $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$4x²-12x+9=(2x-3)².

2. 2

   $(2x-3{)}^2=0⟺2x-3=0⟺x=\frac{3}{2}$(2x-3)²=0⇔ 2x-3=0⇔ x=3/2.

Rappel de cours : $A^2=0⟺A=0$A²=0⇔ A=0 : un carré parfait nul donne une seule solution.

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1. 1

   On ramène tout d'un côté : $x^2-3x=0$x²-3x=0.

2. 2

   On factorise : $x(x-3)=0$x(x-3)=0, donc $x=0$x=0 ou $x=3$x=3.

Rappel de cours : On ne divise jamais par $x$x (perte de la solution $x=0$x=0) : on factorise.

Erreur fréquente : Diviser par $x$x ferait disparaître la solution $x=0$x=0.

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1. 1

   $x^2=16⟺x^2-16=0⟺(x-4)(x+4)=0$x²=16 ⇔ x²-16=0 ⇔ (x-4)(x+4)=0.

2. 2

   $x=4$x=4 ou $x=-4$x=-4.

Rappel de cours : $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) a deux solutions $\pm \sqrt{k}$± √k. Ne pas oublier la négative.

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1. 1

   Un quotient est nul quand son numérateur est nul (et le dénominateur non nul).

2. 2

   $x-1=0\Rightarrow x=1$x-1=0 ⇒ x=1.

   On vérifie $x\ne -2$x≠ -2 : OK.

Rappel de cours : $\frac{A}{B}=0⟺A=0$A/B=0 ⇔ A=0 et $B\ne 0$B≠ 0. On vérifie la valeur interdite.

Correction détaillée

1. 1

   Produit en croix : $3(x+2)=6x$3(x+2)=6x, soit $3x+6=6x$3x+6=6x.

2. 2

   $6=3x$6=3x, donc $x=2$x=2.

   Valeurs interdites respectées : OK.

Rappel de cours : Égalité de deux quotients : produit en croix, en notant d'abord les valeurs interdites.

Correction détaillée

1. 1

   Valeur interdite : $x-2=0⟺x=2$x-2=0⇔ x=2.

   On cherche donc $x\ne 2$x≠ 2.

2. 2

   Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul) : $x^2-4=0⟺(x-2)(x+2)=0⟺x=2$x²-4=0⇔(x-2)(x+2)=0⇔ x=2 ou $x=-2$x=-2.

3. 3

   $x=2$x=2 est interdite : on l'écarte.

   Il reste $x=-2$x=-2.

Rappel de cours : $\frac{A}{B}=0⟺A=0$A/B=0⇔ A=0 et $B\ne 0$B≠ 0.

Erreur fréquente : Simplifier par $(x-2)$(x-2) puis oublier la valeur interdite conduit à une fausse conclusion si l'on n'y prend pas garde.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-1{)}^2-16=x^2-2x+1-16=x^2-2x-15$(x-1)²-16=x²-2x+1-16=x²-2x-15.

2. 2

   $x^2=2x+15⟺x^2-2x-15=0⟺(x-1{)}^2-4^2=0$x²=2x+15⇔ x²-2x-15=0⇔(x-1)²-4²=0.

3. 3

   Différence de carrés : $(x-1-4)(x-1+4)=0⟺(x-5)(x+3)=0$(x-1-4)(x-1+4)=0⇔(x-5)(x+3)=0.

4. 4

   $x=5$x=5 ou $x=-3$x=-3.

   Vérification : $25=10+15$25=10+15 et $9=-6+15$9=-6+15.

Rappel de cours : Faire apparaître $(x-a{)}^2-b^2$(x-a)²-b² permet de factoriser un trinôme sans formule.

Correction détaillée

1. 1

   Dans $x$x années : père $40+x$40+x, fils $10+x$10+x.

   On veut $40+x=2(10+x)$40+x=2(10+x).

2. 2

   $40+x=20+2x$40+x=20+2x, soit $40-20=2x-x$40-20=2x-x, donc $x=20$x=20.

3. 3

   Dans $20$20 ans (père $60$60, fils $30$30 : $60=2\times 30$60=2× 30 ✓).

Rappel de cours : On choisit l'inconnue, on traduit la condition en équation, on résout, on vérifie le sens.

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1. 1

   Soit $x$x la largeur, longueur $3x$3x.

   Périmètre : $2(x+3x)=48$2(x+3x)=48, soit $2\times 4x=48$2× 4x=48.

2. 2

   $8x=48$8x=48, donc $x=6$x=6.

   Largeur $6$6 cm, longueur $18$18 cm.

Rappel de cours : Périmètre d'un rectangle : $2\times (\text{largeur}+\text{longueur})$2×( largeur + longueur ).

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1. 1

   Une remise de $15\%$15% fait payer $85\%$85% du prix : $0,85x=68$0,85 x=68.

2. 2

   $x=\frac{68}{0,85}=80$x=68/0,85=80.

   Le prix initial était $80$80 €.

Rappel de cours : Une remise de $t\%$t% : prix payé $=(1-\frac{t}{100})\times$=(1-t/100)× prix initial.

Erreur fréquente : Ne pas ajouter $15\%$15% à $68$68 : il faut remonter au prix initial en divisant par $0,85$0,85.

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1. 1

   On cherche deux nombres de somme $5$5 et produit $6$6 : $2$2 et $3$3.

2. 2

   Donc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0, d'où $x=2$x=2 ou $x=3$x=3.

Rappel de cours : Un trinôme $x^2-Sx+P$x²-Sx+P se factorise en $(x-a)(x-b)$(x-a)(x-b) où $a,b$a,b ont pour somme $S$S et produit $P$P.

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1. 1

   1) Longueur $x+3$x+3, aire $x(x+3)=40$x(x+3)=40, soit $x^2+3x-40=0$x²+3x-40=0.

2. 2

   2) $(x+8)(x-5)=x^2-5x+8x-40=x^2+3x-40$(x+8)(x-5)=x²-5x+8x-40=x²+3x-40.

3. 3

   3) $(x+8)(x-5)=0⟺x=-8$(x+8)(x-5)=0⇔ x=-8 ou $x=5$x=5.

   Une largeur est positive : $x=5$x=5.

4. 4

   Le rectangle mesure $5$5 m sur $8$8 m.

   Vérification : $5\times 8=40$5× 8=40.

Rappel de cours : En fin de problème, on garde seulement les solutions compatibles avec le contexte.

Erreur fréquente : $x=-8$x=-8 est solution de l'équation mais pas du problème : une longueur ne peut pas être négative.