Notion

Racines carrées et produits

Le produit de deux racines carrées est égal à la racine du produit : pour $a \geq 0$ a≥0 et $b \geq 0$ b≥0, $a \times b = a \times b$ √(a)×√(b)=√(a× b). Cette propriété fondamentale permet de regrouper plusieurs racines en une seule, de calculer certains produits sans calculatrice, et surtout de simplifier une racine en extrayant les carrés parfaits, comme $50 = 25 \times 2 = 52$ √(50)=√(25)×√(2)=5√(2). Elle se lit dans les deux sens : on peut multiplier sous une même racine, ou séparer un radical en un produit plus simple. Attention, la règle n'est valable que pour des nombres positifs : elle ne s'applique pas telle quelle aux nombres négatifs. C'est un outil de base du calcul sur les racines en Seconde.

Définitions

Produit de racines: Pour $a, b \geq 0$ a, b ≥ 0, $a \times b = a \times b$ √(a)×√(b) = √(a × b). On peut multiplier sous une même racine.
Extraire un carré: C'est sortir de la racine un facteur qui est un carré parfait : $a^{2} b = a b$ √(a² b)=a√(b) pour $a \geq 0$ a≥0. On l'utilise pour simplifier une racine ou additionner des racines semblables.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Produit de racines carrées →

a \times b = a \times b (a, b \geq 0)

√(a)×√(b) = √(a × b) (a, b ≥ 0)Le produit des racines est la racine du produit.

Méthodes

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Calculer un produit de racines carrées →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Produit donnant un entier

Niveau 1 · Application directe

Calculer

2 \times 8

√(2)×√(8).

Voir la correction

1.
$2 \times 8 = 16$ √(2)×√(8) = √(16).
→ Produit de racines carrées
2.
$= 4$ = 4.

Réponse :

4

Méthode utilisée : $a \times b = ab$ √a × √b =√(ab).

Erreur fréquente : Additionner sous la racine.

Autre produit entier

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

3 \times 12

√(3)×√(12).

Voir la correction

1.
$3 \times 12 = 36$ √(3)×√(12) = √(36).
→ Produit de racines carrées
2.
$= 6$ = 6.

Réponse :

6

Méthode utilisée : $3 \times 12 = 36$ √3 ×√(12)=√(36).

Erreur fréquente : Oublier le carré parfait $36$ 36.

Faire les 10 exercices types sur racines carrées et produits8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment multiplier deux racines carrées ?

On multiplie les nombres sous une seule racine : √a × √b = √(ab). Par exemple √2 × √8 = √16 = 4.

Peut-on faire pareil avec une addition ?

Non ! √a + √b n'est pas √(a+b). La règle ne marche que pour le produit, pas pour la somme.

Pourquoi le résultat est parfois un entier ?

Quand le produit sous la racine est un carré parfait. √2 × √8 = √16 = 4, car 16 = 4².

Quelle est la règle √a × √b ?

Pour a et b positifs, √a × √b = √(a×b). Par exemple √2 × √8 = √16 = 4.

Peut-on écrire √(a + b) = √a + √b ?

Non, c'est faux. La racine se distribue sur les produits et les quotients, mais jamais sur une addition ou une soustraction.

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