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Formule · Seconde

Formule : Règle du produit nul

Un produit est nul quand un facteur l'est.

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Ce que dit la formule

Pour résoudre A × B = 0, on résout séparément A = 0 et B = 0. Les solutions de l'équation sont la réunion des solutions de chaque facteur.

L'expression doit être un produit : si besoin, on factorise d'abord.

La règle repose sur une propriété propre à zéro : un produit de réels est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs l'est. Aucune autre valeur ne se comporte ainsi — A × B = 6 ne dit rien sur A ni sur B.

C'est pour cette raison qu'on factorise avant de résoudre : la forme produit est la seule qui permette de conclure facteur par facteur.

Exemple

(x-2)(x+3) = 0 ⇔ x - 2 = 0 ou x + 3 = 0, soit x = 2 ou x = -3.

Deuxième exemple

(2x - 6)(x + 1) = 0 donne 2x - 6 = 0 ou x + 1 = 0, soit x = 3 ou x = -1. L'ensemble des solutions est {-1 ;3}.

Piège à éviter

La règle vaut pour un produit égal à 0 : il faut factoriser avant si l'équation n'est pas déjà un produit.

Questions fréquentes

Pourquoi la règle ne vaut-elle que pour zéro ?
Parce que zéro est le seul nombre qui absorbe la multiplication. Si A × B = 6, on ne peut rien conclure sur A ni sur B pris séparément.
Que faire si l'équation n'est pas déjà un produit ?
On ramène tout d'un côté, puis on factorise : x² = 4x devient x² - 4x = 0, soit x(x-4) = 0, d'où x = 0 ou x = 4.
Un produit de trois facteurs se traite-t-il pareil ?
Oui : on résout chaque facteur égal à zéro, puis on réunit toutes les solutions trouvées.

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