Facteur commun et identités : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On repère un facteur commun à tous les termes et on le met en facteur. Sinon, on reconnaît une identité remarquable (souvent la différence de carrés $a^{2} - b^{2}$ a² - b²).

On peut vérifier en développant le résultat.

Factoriser, c'est transformer une somme en produit — l'opération inverse du développement. Son intérêt principal est la résolution d'équations : un produit nul se traite facteur par facteur, une somme non.

Trois pistes, dans cet ordre : un facteur commun apparent, un facteur commun visible après réécriture, puis une identité remarquable.

Exemple

3 x + 6 = 3 (x + 2)

3x + 6 = 3(x+2) ;

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

x² - 9 = (x-3)(x+3).

Deuxième exemple

x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)

x² - 25 = x² - 5² = (x-5)(x+5) : c'est une différence de deux carrés. On s'en sert ensuite pour résoudre

x^{2} - 25 = 0

x² - 25 = 0, dont les solutions sont

5

5 et

- 5

-5.

Piège à éviter

Mettre en facteur le plus grand facteur commun, et ne pas oublier un terme (

2 x^{2} + 4 x = 2 x (x + 2)

2x² + 4x = 2x(x+2)).

Questions fréquentes

Comment repérer une différence de carrés ?

Deux termes séparés par un signe moins, chacun étant un carré :

x^{2} - 25

x² - 25,

4 x^{2} - 9

4x² - 9, ou même

x^{2} - 3

x² - 3 avec

3 = (3)^{2}

3 = (√(3))².

Peut-on factoriser n'importe quelle expression ?

Non.

x^{2} + 1

x² + 1 ne se factorise pas dans les réels, car une somme de carrés ne s'annule jamais.

Comment vérifier une factorisation ?

En développant le résultat : on doit retrouver exactement l'expression de départ.

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Formule : Facteur commun et identités